Question

已知：如图，⊙O的直径AB与弦CP互相垂直，垂足为D，点Q在PB的延长线上，且∠Q=∠ACP．若⊙O的半径为2．5，AC=3．
（1）求证：AB∥CQ；
（2）求证：△ACB∽△PCQ；
（3）求线段CQ的长度．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理可证∠ACP=∠ABP，结合已知∠Q=∠ACP，得同位角相等，两直线平行；
（2）在△ACB和△PCQ中，找两组对应角相等，可证△ACB∽△PCQ；
（3）计算Rt△ABC的三边，用“面积法”求AB边上的高CD，由垂径定理得CP=2CD，再由△ACB∽△PCQ，利用相似比可求CQ．

解答：解：（1）∵∠Q=∠ACP，
∠ACP=∠ABP（同弧所对的圆周角相等），
∴∠Q=∠ABP．
∴AB∥CQ．

（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB∥CQ，AB⊥CP，
∴∠PCQ=90°=∠ACB．
又∵∠A=∠P，
∴△ACB∽△PCQ．

（3）在Rt△ACB中，AB=5，AC=3，
∴BC=4．
∵直径AB⊥PC，
∴CD=PD=

3×4

5

=2.4，
∴CP=4.8．
∵△ACB∽△PCQ，
∴

CA

CP

=

CB

CQ

，即

3

4.8

=

4

CQ

，解得CQ=6.4．
答：线段CQ的长度为6.4．

点评：本题运用了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判断和性质，具有较强的综合性．