如图.抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A.B.交y轴于点C.其中点B坐标为．(1)求抛物线的解析式,与抛物线交于点M.N.试求出当y轴平分△CMN的面积时的直线函数关系式,的条件下.设直线y=kx-1与y轴相交于点E.点P是直线y=kx-1上一点.过点P作直线PQ平行于y轴yOx交抛物线于点Q.连接CQ.问是否存在以P.E.C.Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在求出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，抛物线y=-x²+bx+c交x轴于点A、B，交y轴于点C，其中点B坐标为（1，0），点C坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线y=kx-1（k≠0）与抛物线交于点M、N，试求出当y轴平分△CMN的面积时的直线函数关系式；
（3）在（2）的条件下，设直线y=kx-1与y轴相交于点E，点P是直线y=kx-1上一点，过点P作直线PQ平行于y轴yOx交抛物线于点Q，连接CQ，问是否存在以P、E、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点B（1，0），点C（0，3）代入y=-x²+bx+c，求出b，c的值，即可得出答案；
（2）根据直线与抛物线相交，得出x²+（k+2）x-4=0，再根据y轴平分△CMN的面积和M、N两点的横坐标互为相反数，得出-（k+2）=0，求出k的值，即可得出答案；
（3）设点P的坐标为P（m，-2m-1），则点Q的坐标为（m，-m²-2m+3），根据直线y=kx-1与y轴相交于点E，求出CE的长，再根据四边形PECQ是平行四边形，得出PQ=CE，再分两种分情况讨论：当点P在线段MN上时和点P在线段MN外时，分别求出PQ的值，求出m的值，从而得出点P的坐标．

解答：解：（1）将点B（1，0），点C（0，3）代入y=-x²+bx+c得：

-1+b+c=0

c=3

，
解得：

b=-2

c=3

，
则抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）由题意得：

y=kx-1 ①

y=-x2-2x+3 ②

，
①-②得：x²+（k+2）x-4=0，
∵y轴平分△CMN的面积，M、N两点的横坐标互为相反数，
∴-（k+2）=0，
∴k=-2，
∴直线与函数的关系式是：y=-2x-1；

（3）设点P的坐标为P（m，-2m-1），则点Q的坐标为（m，-m²-2m+3），
∵直线y=kx-1与y轴相交于点E，C（0，3），
∴点E坐标为（0，-1），
∴CE=4，
∵四边形PECQ是平行四边形，
∴PQ=CE=4，
∴①当点P在线段MN上时，
PQ=-（-m²-2m+3）-（-2m-1）=-m²+4，
∴-m²+4=4，
解得：m₁=m₂=0（不合题意，舍去），
②当点P在线段MN外时，
PQ=（-2m-1）-（-m²-2m+3）=m²-4，
∴m²-4=4，
解得：m₁=2

，m₂=-2

，
当m₁=2

时，-2m-1=-4

-1，
当m₂=-2

时，-2m-1=4

-1，
∴点P₁（2

，-4

-1），点P₂（-2

，4

-1）．

点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点待定系数法和平行四边形的性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论．

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