Question

12．如图，直线y=ax+b（a≠0）与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）交于一、三象限内的A，B两点与x轴交于点C，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，-2），tan∠BOC=$\frac{2}{5}$．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）点E为坐标轴上一点，以AE为直径的圆恰好经过点B，直接写出点E的坐标．
（3）点P（s，t）（s＞2）在直线AB上运动，PM∥x轴交双曲线于M，PN∥y轴交双曲线于N，直线MN分别交x轴，y轴于F，G，求$\frac{OF}{OG}$+$\frac{3}{t}$的值．

Answer 1

分析 （1）先利用tan∠BOC=$\frac{2}{5}$分别求出A和B两点的坐标，再利用待定系数法求两个函数的解析式；
（2）如图2，因为以AE为直径的圆恰好经过点B，所以∠ABE=90°，过B作AB的垂线，与坐标的两个交点就是符合条件的E点，构建直角三角形，利用三角形相似或等腰直角三角形的定义列等式可得结论；
（3）如图3，作辅助线，根据P（s，t），表示M（$\frac{10}{t}$，t），N（s，$\frac{10}{s}$），利用等角的三角函数列式可得：$\frac{OF}{OG}=\frac{RN}{RM}$=$\frac{s-\frac{10}{t}}{t-\frac{10}{s}}$=$\frac{s}{t}$，代入所求式子可得结果．

解答 解：（1）如图1，过B作BD⊥x轴于D，
∵点B的坐标为（n，-2），
∴BD=2，
在Rt△OBD中，tan∠BOC=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{BD}{OD}=\frac{2}{5}$，
∴$\frac{2}{OD}=\frac{2}{5}$，
∴OD=5，
∴n=-5，
即B（-5，-2），
∴k=-5×（-2）=10，
∴该反比例函数的解析式为：y=$\frac{10}{x}$，
当x=2时，m=5，
∴A（2，5），
把A（2，5）和B（-5，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=5}\\{-5a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为：y=x+3；

（2）如图2，过B作BE₁⊥AB，交x轴于E₁，交y轴于E₂，即符合条件的点E有两个，构建直角△ABQ和直角△BE₂K，
∴AQ=BQ=7，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∵∠ABE₂=90°，
∴△BKE₂也是等腰直角三角形，
设E₂（0，y），
∴BK=KE₂，
∴5=-y-2，
y=-7，
∴E₂（0，-7），
同理可得：E₁（-7，0），
综上所述，点E的坐标为（0，-7）或（-7，0）；

（3）如图3，过N作NR∥PM，过M作MR∥PN，交于R，
则四边形MRNP是矩形，
∵P（s，t），且PM∥x轴，PN∥y轴，
∴M（$\frac{10}{t}$，t），N（s，$\frac{10}{s}$），
∴RN=s-$\frac{10}{t}$，MR=t-$\frac{10}{s}$，
∵MR∥OG，
∴∠OGF=∠RMN，
∴tan∠OGF=tan∠RMN，
∴$\frac{OF}{OG}=\frac{RN}{RM}$=$\frac{s-\frac{10}{t}}{t-\frac{10}{s}}$=$\frac{s}{t}$，
∵点P（s，t）（s＞2）在直线AB上运动，
∴t=s+3，
∴$\frac{OF}{OG}$+$\frac{3}{t}$=$\frac{s}{t}$+$\frac{3}{t}$=$\frac{s+3}{t}$=1．

点评 本题是反比例函数和一次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、三角函数、等腰直角三角形的性质和判定、圆周角定理，在函数中，常利用函数的解析式表示点的坐标，并表示线段的长，从而得出线段的比，本题难度适中，是一道不错的函数与圆的综合问题．