Question

12．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D．
（1）过D作DE⊥MN于E（保留作图痕迹）；
（2）证明：DE是⊙O的切线；
（3）若DE=6，AE=3，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂直平分线的判定方法即可解决．
（2）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可．
（3）连接CD，作OF⊥AB于点F，设AF=x，则EF=OD=x+3，在Rt△AOF中，利用勾股定理列出方程即可．

解答 解：（1）①以点D为圆心适当的长为半径画弧交MN于G、H，
②再分别以G、H为圆心大于$\frac{1}{2}$GH为半径画弧，两弧交于点K，
③连接DK与MN交于点E，
直线DE就是所求．
（2）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE，
∴DO∥MN，
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°，
即OD⊥DE，
∵D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线．
（3）连接CD，作OF⊥AB于点F，
∵OF⊥AB，OD⊥DE，DE⊥AB，
∴∠OFE=∠ODE=∠DEF=90°，
∴四边形DEFO为矩形，
∴OF=DE=6，OD=EF，
设AF=x，则EF=OD=x+3，
在Rt△AOF中，（x+3）²=6²+x²，
解得，x=4.5，
∴AF=4.5，
∴AB=2AF=9．

点评 本题考查切线的判定、圆的有关知识、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是这些知识的灵活运用，记住圆中常用辅助线的添加方法，属于中考常考题型．