Question

18．如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC．AD是⊙O的直径，切线DE与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若DF=n，∠BAC=2a，写出求CE长的思路．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC得到$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，则根据垂径定理的推论得到AD垂直平分BC，再根据切线的性质得AD⊥DE，然后根据平行线的判定方法可得DE∥BC；
（2）作CH⊥DE于H，如图，易得四边形CFDH为矩形，则CH=DF=n，再利用平行线的性质得∠ECH=∠CAD=α，然后在Rt△CEH中利用余弦的定义可计算出CE的长．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
而AD为直径，
∴AD垂直平分BC，
∵DE为切线，
∴AD⊥DE，
∴DE∥BC；

（2）解：作CH⊥DE于H，如图，易得四边形CFDH为矩形，
∴CH=DF=n，
∵CH∥AD，
∴∠ECH=∠CAD=α，
在Rt△CEH中，∵cos∠ECH=$\frac{CH}{CE}$，
∴CE=$\frac{n}{cosα}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理的推论．