Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动，设动点运动时间为t秒．

（1）求AD的长．
（2）当P、C两点的距离为 时，求t的值．
（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在时刻t，使得S△PMD= S△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB=AC=13，AD⊥BC，

∴BD=CD=5cm，且∠ADB=90°，

∴AD2=AC2﹣CD2

∴AD=12cm

（2）

解：AP=t，

∴PD=12﹣t，

在Rt△PDC中，PC= ，CD=5，根据勾股定理得，PC2=CD2+PD2，

∴29=52+（12﹣t）2，

∴t=10或t=14（舍）．

即：t的值为10s

（3）

解：假设存在t，使得S△PMD= S△ABC．

∵BC=10，AD=12，

∴S△ABC= BC×AD=60，

① 若点M在线段CD上，

即 0≤t＜ 时，PD=12﹣t，DM=5﹣2t，

由S△PMD= S△ABC，

即 （12﹣t）（5﹣2t）= ，

2t2﹣29t+43=0

解得t1= （舍去），t2=

② 若点M在射线DB上，即 ＜t＜12．

由S△PMD= S△ABC

得 （12﹣t）（2t﹣5）= ，

2t2﹣29t+77=0

解得 t=11或t=

综上，存在t的值为 s或 11s或 s，使得S△PMD= S△ABC

【解析】（1）根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可；（2）根据勾股定理建立方程求解即可；（3）根据题意列出PD、MD的表达式解方程组，由于M在D点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即可，注意约束条件．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．