Question

（2013•宝安区二模）已知：如图1，抛物线经过点O、A、B三点，四边形OABC是直角梯形，其中点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥OA，A（12，0）、B（4，8）．
（1）求抛物线所对应的函数关系式；
（2）若D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．几秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1﹕3两部分？并求出此时P点的坐标；
（3）如图2，作△OBC的外接圆O′，点Q是抛物线上点A、B之间的动点，连接OQ交⊙O′于点M，交AB于点N．当∠BOQ=45°时，求线段MN的长．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线经过原点，设抛物线解析式为y=ax²+bx（a≠0），然后把点A、B的坐标代入求出a、b的值，即可得解；
（2）先求出梯形OABC的面积为64和AB的长，再求出两个部分的面积分别为16和48，然后分△ADP的面积是16时，过点P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质求出PE的长，再根据三角形的面积列式计算即可得解；△PDO的面积是16时，求出OP的长，再列式求解即可；
（3）先利用勾股定理列式求出OB，再根据两组角对应相等的两个三角形相似可得△AOB和△ONB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出ON的长，连接BM，判断出△OBM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出OM，再根据MN=ON-OM计算即可得解．

解答：解：（1）∵抛物线经过点A（12，0）、B（4，8）和原点O，
∴设抛物线解析式为y=ax²+bx（a≠0），
则

144a+12b=0 16a+4b=8

，
解得

a=- 1 4 b=3

，
∴抛物线所对应的函数关系式为y=-

1

4

x²+3x；

（2）∵A（12，0），B（4，8），BC∥OA，
∴OA=12，BC=4，OC=8，∠OAB=45°，
∴梯形OABC的面积=

1

2

×（4+12）×8=64，
∵AD是OA的中点，
∴OD=AD=

1

2

OA=

1

2

×12=6，
∵线段PD将梯形OABC的面积分成1：3两部分，
∴分成两部分的面积分别为64×

1

1+3

=16，
64×

3

1+3

=48，
如图1，△ADP的面积是16时，过点P作PE⊥x轴于E，
∵AP=t，
∴PE=

2

2

t，
∴

1

2

×6×

2

2

t=16，
解得t=

16 2

3

，
∴PE=

16 2

3

×

2

2

=

16

3

，
OE=12-

16 2

3

×

2

2

=

20

3

，
∴点P（

20

3

，

16

3

），
△PDO的面积是16时，

1

2

×6•OP=16，
解得OP=

16

3

，
∵AB=

82+(12-4)2

=8

2

，
∴t=（AB+BC+OC-OP）÷1=8

2

+4+8-

16

3

=8

2

+

20

3

，
此时，点P（0，

16

3

），
综上所述，

16 2

3

秒或8

2

+

20

3

秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成1：3两部分，
此时P点的坐标为（

20

3

，

16

3

）或（0，

16

3

）；

（3）在Rt△OBC中，由勾股定理得，OB=

OC2+BC2

=

82+42

=4

5

，
∵∠OAB=45°，∠BOQ=45°，
∴∠OAB=∠BOQ，
又∵∠ABO=∠OBN，
∴△AOB∽△ONB，
∴

ON

AO

=

OB

AB

，
即

ON

12

=

4 5

8 2

，
解得ON=3

10

，
如图2，连接BM，∵∠BOQ=45°，OB是⊙O′的直径，
∴△OBM是等腰直角三角形，
∴OM=

2

2

OB=

2

2

×4

5

=2

10

，
∴MN=ON-OM=3

10

-2

10

=

10

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，（2）难点在于要根据点P的位置分情况讨论，（3）判断出两个三角形相似是解题的关键．