Question

在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A，其顶点为B．孔明同学用一把宽为3cm带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：
①量得OA=3cm；
②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5．
请完成下列问题：
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H、G，交抛物线于点E、F．求证：S_梯形EFGH=（EF²-9）．

Answer 1

（1）解：；

（2）解：设抛物线的解析式为：y=ax（x-3），
当时，，即；
当时，，即，
依题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；

（3）证明：过点E作ED⊥FG，垂足为D，
设，
则，
得：S_梯形EFGH=，
∵，
∴S_梯形EFGH=．
分析：（1）由于O、A关于抛物线对称轴对称，且OA=3cm，由此可求得抛物线的对称轴为x=．
（2）根据O、A的坐标，可将抛物线解析式设为交点式，在（1）题求得了抛物线的对称轴，即可得到B、C的横坐标，分别代入抛物线的解析式中，表示出它们的纵坐标，根据C、B的纵坐标差为4.5即可列方程求出待定系数的值，从而确定抛物线的解析式．
（3）可设出E点的横坐标，进而根据直尺的宽度得到F点的横坐标，根据（2）题所得抛物线，即可表示出两点的纵坐标，利用梯形的面积公式，可求出梯形EFGH的面积表达式，然后同（EF²-9）进行比较即可．
点评：此题考查的知识点并不是很多，主要涉及二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，能够从图中获得有效的信息是解决问题的关键．