Question

已知抛物线y=mx²+（3-m）x+m²+m交x轴于C（x₁，0），D（x₂，0）两点，（x₁＜x₂）且x₁x₂+x₁+x₂=4，M为顶点．
（1）试确定m的值；
（2）设点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点（含C、M点），△POQ是以PO为腰、底边OQ在x轴上的等腰三角形，过点Q作x轴的垂线交直线AM于点R，其中A（-1，-5），连接PR．设△PQR的面积为S，求S与a之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）用m表示出二次函数两个根的和、积，代入等式x₁x₂+x₁+x₂=4，并结合△=（3-m）²-4m（m²+m）＞0，解出即可；
（2）由抛物线的解析式得出顶点坐标，利用A，M坐标，用待定系数法可求出直线的解析式，点P（a，b），根据题意得，Q点坐标为（2a，0），由直线的解析式得，点R的坐标为（2a，6a-2），过点P作PN⊥RQ于点N，则RQ=|6a-2|，PN=|a|，所以，S=

1

2

RQ•PN=

1

2

|6a-2||a|，分类讨论解答出即可．

解答：解：（1）因为抛物线y=mx²+（3-m）x+m²+m交x轴于C（x₁，0），D（x₂，0）两点（x₁＜x₂）且x₁x₂+x₁+x₂=4，
∴m≠0
∵x₁+x₂=

m-3

m

，x₁x₂=

m2+m

m

，且△=（3-m）²-4m（m²+m）＞0，
又∵x₁x₂+x₁+x₂=4，
∴

m2+m

m

+

m-3

m

=4，
解得m=-1，或m=3，而m=3使△＜0，不合题意，故舍去，
∴m=-1；

（2）由（1）知抛物线的解析式为y=-x²+4x，
∴顶点M的坐标为（2，4），如图，
设直线AM的解析式为y=kx+b，
∵A（-1，-5），
则有

-5=-k+b 4=2k+b

，
解得

k=3 b=-2

，
∴y=3x-2，
依题意，点P（a，b）是抛物线上点C到点M之间的一个动点，
∴0＜a≤2，
∴Q点坐标为（2a，0），
由（2）知直线AM为y=3x-2，
∴当x=2a时，y=6a-2，
∴点R的坐标为（2a，6a-2），
过点P作PN⊥RQ于点N，
∵RQ=|6a-2|，PN=|a|，
∴S=

1

2

RQ•PN=

1

2

|6a-2|•|a|，
当0＜a＜

1

3

时，S=

1

2

（2-6a）•a=-3a²+a，
当a=

1

3

时，△PQR不存在；
当

1

3

＜a≤2时，S=

1

2

（6a-2）•a=3a²-a．

点评：本题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式、解析式和三角形的面积求法等；在求有关动点问题时要注意分析题意、分情况讨论结果．