【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),△AOB为等边三角形,P是x轴上一个动点(不与原点O重合),以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.
(1)求点B的坐标.
(2)在点P运动过程中,∠ABQ的大小是否发生改变?若不改变,求出其大小;若改变,请说明理由.
(3)连接OQ,当OQ∥AB时,求点P的坐标.
【答案】(1) 点B的坐标为(,1);(2)∠ABQ的大小始终不变,∠ABQ=90°;(3) P的坐标为(-,0)
【解析】
(1)过点B作BC⊥x轴于点C,根据等边三角形的性质可得∠AOB=60°,BO=OA=2,从而求出∠BOC=30°,然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出BC和OC,从而求出点B的坐标;
(2)根据等边三角形的性质可得AP=AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB=60°,从而证出∠PAO=∠QAB,然后利用SAS证出△APO≌△AQB,从而得出∠ABQ=∠AOP=90°;
(3)根据题意,画出图形,然后根据平行线的性质可得∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°,从而求出∠OBQ=30°,然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OQ和BQ,再根据(2)中全等可得OP=BQ,从而求出点P的坐标.
解:(1)如图①,过点B作BC⊥x轴于点C.
∵△AOB为等边三角形,且OA=2,
∴∠AOB=60°,BO=OA=2.
∴∠BOC=30°.
又∵∠OCB=90°,
∴BC=OB=1,OC=.
∴点B的坐标为(,1).
(2)∠ABQ的大小始终不变.
∵△APQ,△AOB均为等边三角形,
∴AP=AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB=60°.
∴∠PAO=∠QAB.
在△APO与△AQB中,
∴△APO≌△AQB(SAS).
∴∠ABQ=∠AOP=90°.
(3)如图②,当OQ∥AB时,点P在x轴的负半轴上,点Q在点B的下方,
∵AB∥OQ,
∴∠BQO=180°-∠ABQ=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.
∴∠OBQ=30°.
又OB=OA=2,
∴OQ=OB=1,BQ=,
由(2)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=.
∴此时点P的坐标为(-,0).
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【题目】在如图所示平面直角坐标系中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在格点上.
(1)以O为旋转中心,将△ABC逆时针旋转90°,画出旋转后的△A1B1C1;
(2)画出△A1B1C1关于原点对称的△A2B2C2;
(3)若△ABC内有一点P(a,b),结果上面两次变换后点P在△A2B2C2中的对应点为P′,则点P′的坐标为 .
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【题目】万达旅行社为吸引市民组团去黄山风景区旅游,推出了如下的收费标准:
宿州高铁新区组织员工去黄山风景区旅游,共支付给万达旅行社旅游费用27 000元,请问该单位这次共有多少员工去黄山风景区旅游?
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【题目】甲、乙两人相约周末登花果山,甲、乙两人距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数图象如图所示,根据图象所提供的信息解答下列问题:
(1)甲登山上升的速度是每分钟 米,乙在A地时距地面的高度b为 米;
(2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,请求出乙登山全程中,距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式;
(3)登山多长时间时,甲、乙两人距地面的高度差为70米?
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【题目】在平面直角坐标系中,一次函数的图象交轴、轴分别于两点,交直线于。
(1)求点的坐标;
(2)若,求的值;
(3)在(2)的条件下,是线段上一点,轴于,交于,若,求点的坐标。
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【题目】某校举行全体学生“汉字听写”比赛,每位学生听写汉字39个.随机抽取了部分学生的听写结果,绘制成如下的图表.
组别 | 正确字数x | 人数 |
A | 0≤x<8 | 10 |
B | 8≤x<16 | 15 |
C | 16≤x<24 | 25 |
D | 24≤x<32 | m |
E | 32≤x<40 | n |
根据以上信息完成下列问题:
(1)统计表中的m= ,n= ,并补全条形统计图;
(2)扇形统计图中“C组”所对应的圆心角的度数是 ;
(3)已知该校共有900名学生,如果听写正确的字的个数少于24个定为不合格,请你估计该校本次听写比赛不合格的学生人数.
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【题目】如图,在直角三角形中,,点从开始沿边向点以的速度移动,点从点开始沿边向点以的速度移动. 分别从同时出发,当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动,
(1)求为何值时,为等腰三角形?
(2)是否存在某一时刻,使点在线段的垂直平分线上?
(3)点在运动的过程中,是否存在某时刻, 直线把的周长分为两部分?若存在,求出,若不存在,请说明理由.
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