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如图,半径为2的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点.
(1)求证:PA•PB=PC•PD;
(2)设BC的中点为F,连接FP并延长交AD于E,求证:EF⊥AD;
(3)若AB=8,CD=6,求OP的长.

【答案】分析:(1)求证PA•PB=PC•PD可以转化为证明Rt△APD∽Rt△CPB;
(2)求证EF⊥AD,可以转化为证明∠DPE+∠D=90°,从而转化为证明∠A=∠DPE;
(3)作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,OP是矩形MONP的对角线,根据勾股定理就可以求出OP的长.
解答:(1)证明:∵∠A、∠C所对的圆弧相同,
∴∠A=∠C,
∴Rt△APD∽Rt△CPB,

∴PA•PB=PC•PD;(3分)

(2)证明:∵F为BC的中点,△BPC为直角三角形,
∴FP=FC,∴∠C=∠CPF.
又∠C=∠A,∠DPE=∠CPF,
∴∠A=∠DPE.
∵∠A+∠D=90°,
∴∠DPE+∠D=90°,
∴EF⊥AD;(7分)

(3)解:作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接PO,
∴OM2=(22-42=4,ON2=(22-32=11,
易证四边形MONP是矩形,
∴OP=.      (7分)
点评:证明线段的积相等的问题可以转化为证明三角形相似的问题.并且本题还考查了垂径定理,以及勾股定理.
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