Question

如图，⊙M的圆心在x轴上，与坐标轴交于A（0，

3

）、B（-1，0），抛物线y=-

3

3

x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设抛物线的顶点为P．试判断点P与⊙M的位置关系，并说明理由；
（3）若⊙M与y轴的另一交点为D，则由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积是多少？

Answer 1

分析：（1）将A（0，

3

）、B（-1，0）两点坐标代入抛物线y=-

3

3

x²+bx+c中，解方程组可求b、c，确定抛物线解析式；
（2）连接MA，根据A、B两点坐标，由勾股定理求圆的半径，利用配方法求P点的纵坐标并与半径比较，判断点P与⊙M的位置关系；
（3）由于PM∥y轴，故S_△APD=S_△AMD，问题可转化为求扇形AMD的面积．

解答：解：（1）将A（0，

3

）、B（-1，0）两点坐标代入抛物线y=-

3

3

x²+bx+c中，得

c= 3 - 3 3 -b+c=0

，
解得

b= 2 3 3 c= 3

，
∴y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；

（2）连接MA，设⊙M的半径为R，根据A、B两点坐标可知，OA=

3

，OM=R-1
在Rt△OMA中，由勾股定理得，OA²+OM²=AM²，
即

3

²+（R-1）²=R²，
解得R=2，
∵y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

=-

3

3

（x-1）²+

4 3

3

，
∴PM=

4 3

3

＞2，即P点在⊙M外；

（3）∵PM∥y轴，
∴S_△APD=S_△AMD，
由线段PA、线段PD及弧ABD围成的封闭图形PABD的面积即为扇形AMD的面积，
∵OM=1，AM=2，
∴∠AMO=60°，∠AMD=120°
∴S_扇形AMD=

120×π×22

360

=

4π

3

．

点评：本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线的性质与圆的综合运用，求图形面积的问题，需要学会将图形面积问题进行转化．