Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向在AB上运动，以点M为圆心，MA长为半径画圆，如图2，过点M作NM⊥AB，交⊙M于点N，设运动时间为t秒．

（1）填空：BD=　 　，BM=　 　；（请用准确数值或含t的代数式表示）

（2）当⊙M与BD相切时，

①求t的值；

②求△CDN的面积．

（3）当△CND为直角三角形时，求出t的值．

Answer 1

【答案】（1）15，9﹣t；（2）①t=2②36；（3）t=4.5秒

【解析】分析：(1)、根据Rt△ABD的勾股定理求出BD的长度，根据AM=t得出BM的长度；(2)①、判断出△BME和△BDA相似，得出比例式建立方程即可得出答案；②、先求出MN、CD边上的高，利用三角形的面积公式得出答案；(3)、过点N作直线FG⊥MN，分别交AD，BC于点F，G，分别求出和与t的关系式，然后分∠DNC=90°和∠DCN=90°两种情况求出t的值．

详解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=12，∠BAD=90°，

在Rt△ABD中，AB=9，BC=12，根据勾股定理得，BD==15，

由运动知，AM=t． ∴BM=AB﹣AM=9﹣t；

（2）①如图1，⊙M且BD于E， ∴ME⊥BD， ∴∠BEM=∠BAD=90°， ∵∠EBM=∠ABD，

∴△BME∽△BDA， ∴， ∴， ∴t=2，

②∵MN=AM=2t=4， ∴CD边上的高为AD﹣MN=12﹣4=8， ∴S△CDN=×9×8=36；

（3）如图2，过点N作直线FG⊥MN，分别交AD，BC于点F，G，

∴FN=2t，GN=9﹣2t，DF=CG=12﹣2t， ∴DN2=DF2+FN2=（12﹣2t）2+（2t）2，

∴CN2=CG2+GN2=（12﹣2t）2+（9﹣2t）2，

①当∠DNC=90°时，DN2+CN2=CD2， ∴（12﹣2t）2+（2t）2+（12﹣2t）2+（9﹣2t）2=81，

化简，得4t2﹣33t+72=0， ∵△=（﹣33）2﹣4×4×72＜0， ∴此方程无实数根；

②当∠DCN=90°时，点N在BC上，BN=BA=2t=9， ∴t=4.5，

综上所述，t=4.5秒．