Question

3．如图，矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，F为BE上一点，连接DF，过F作FG⊥DF交BC于点G，连接BD交FG于点H，FD=FG，BF=2$\sqrt{2}$，BG=3，则FH的长$\frac{2\sqrt{5}}{11}$．

Answer 1

分析 过点F作BC的垂线，分别交BC、AD于点M、N，过点A作AP⊥BD于点P，延长DF交AB于点K，过点K作KQ⊥BD于点Q．根据全等三角形的判断及性质得出“DN=FM，NF=MG”，再结合“∠BAD=90°，BE平分∠ABC，BF=2$\sqrt{2}$”可得出“BM=FM=2，MG=1，AB=3，AD=4，BD=5”．由相似三角形的判定定理得出“△DNF∽△DAK，△DFH∽△DQK”，根据相似三角形的性质得出各边之比，从而得出结论．

解答 解：过点F作BC的垂线，分别交BC、AD于点M、N，过点A作AP⊥BD于点P，延长DF交AB于点K，过点K作KQ⊥BD于点Q，如图所示．

∵FD⊥FG，（已知）
∴∠NDF=∠MFG（均为∠DFN的余角）．
在DNF和△FMG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDF=∠MFG}\\{∠DNF=∠FMG=90°}\\{FD=FM}\end{array}\right.$，
∴△DNF≌△FMG（AAS），
∴DN=FM，NF=MG．
∵∠BAD=90°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
又∵FM⊥BM，
∴FM=BM，
∵BF=2$\sqrt{2}$，
∴BM=FM=2，MG=BG-BM=3-2=1，
∴NF=MG=1，AB=NM=3，AD=BM+DN=BM+FM=4，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=5．
由面积公式可知：BD•AP=AB•AD，即5•AP=3×4，
∴AP=$\frac{12}{5}$．
∵NF∥AB，
∴△DNF∽△DAK，
∴$\frac{NF}{AK}=\frac{DF}{DK}=\frac{DN}{DA}$=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$．
∴AK=2NF=2，DK=$\sqrt{A{D}^{2}+A{K}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，DF=$\frac{DK}{2}$=$\sqrt{5}$．
∵KQ∥AP，
∴△BKQ∽△BAP，
∴$\frac{KQ}{AP}=\frac{BK}{BA}$，即$\frac{KQ}{\frac{12}{5}}=\frac{1}{3}$，
∴KQ=$\frac{4}{5}$，
∴BQ=$\sqrt{B{K}^{2}-K{Q}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，DQ=BD-BQ=5-$\frac{3}{5}$=$\frac{22}{5}$．
∵∠DFH=∠DQK=90°，∠FDH=∠QDK，
∴△DFH∽△DQK，
∴$\frac{FH}{QK}=\frac{DF}{DQ}$，即$\frac{FH}{\frac{4}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\frac{22}{5}}$，
∴FH=$\frac{2\sqrt{5}}{11}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、三角形的面积公式已经勾股定理，解题的关键是根据相似三角形的性质找出各边的比例关系．本题属于中档题，难道不大，但较繁琐，解决该该题时用到了全等三角形以及相似三角形的判定及性质，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出对应边之比是关键．