分析 连接AC,作FM⊥AC于M,首先证明△ADE∽△CMF得到CM=2FM,设AM=FM=a,列出方程求出a,即可解决问题.
解答 解:连接AC,作FM⊥AC于M.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠D=∠BAD=90°,∠DAC=45°,
∵∠AMF=90°,
∴∠MAF=∠MFA=45°,
∴AM=FM.设AM=FM=a,AD=2b.则DE=EC=b,
在RT△ADE中,∵AD2+DE2=AE2,
∴5=5b2,
∵b>0,
∴b=1,AD=2,DE=1,
∵∠EGC=∠GAC+∠GCA=45°,∠GAC+∠DAE=45°,
∴∠DAE=∠FCM,
∵∠FMC=∠ADE=90°,
∴△ADE∽△CMF,
∴$\frac{AD}{CM}$=$\frac{DE}{FM}$,
∴$\frac{CM}{FM}$=$\frac{AD}{DE}$=2,
∴CM=2FM,
∴2$\sqrt{2}$-a=2a,
∴a=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$,
∴FM=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$,CM=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$,
∴CF=$\sqrt{C{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{(\frac{2\sqrt{2}}{3})^{2}+(\frac{4\sqrt{2}}{3})^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$.
故答案为$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$.
点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是添加辅助线,构造相似三角形,属于中考常考题型.
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