Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，点M是AB上的动点（不与A，B重合），过点M作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN，令AM=x．
（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

Answer 1

分析：（1）由△AMN∽△ABC得出AN，又S_△AMN=S_△MNP，求得△AMN的面积即可．
（2）设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，并过点M作MQ⊥BC于Q，由（1）中△AMN∽△ABC得

AM

AB

=

MN

BC

，则求得MN、OD，再证△BMQ∽△BCA，得

BM

BC

=

QM

AC

，代入求得x的值．

解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴

AM

AB

=

AN

AC

，即

x

4

=

AN

3

．
∴AN=

3

4

x．
∴S=S_△MNP=S_△AMN=

1

2

•

3

4

x•x=

3

8

x²．（0＜x＜4）

（2）如图，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD．
AO=OD=

1

2

MN．
在Rt△ABC中，BC=

AB2+AC2

=5．
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴

AM

AB

=

MN

BC

，即

x

4

=

MN

5

．
∴MN=

5

4

x．
∴OD=

5

8

x．
过点M作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=

5

8

x．
在Rt△BMQ与Rt△BAC中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．
∴

BM

BC

=

QM

AC

，即

BM

5

=

5 8 x

3

．
解得BM=

25

24

x．
AB=BM+AM=

25

24

x+x=4．
解得x=

96

49

，即当x=

96

49

时，⊙O与BC相切．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及切线的性质，综合性较强，难度较大．