Question

已知：如图，O为?ABCD的对角线BD上一点，过点O的直线l与?ABCD的一组对边分别相交于点E、F，且OE=OF．
（1）试证明：点O为BD的中点．
（2）若直线l绕点O旋转，那么在旋转过程中，直线l与?ABCD的一组对边（或它们的延长线）分别相交于点E′、F′，那么OE′=OF′是否恒成立？若成立，请画出一种情形的图形予以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

解：∵ABCD是平行四边形，
∴∠EOD=∠FOB，∠DEO=∠BFO，
又∵OE=OF，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴OB=OD，即点O为BD的中点．

（2）OE′=OF′恒成立．
证明：旋转后如图所示：
∵ABCD是平行四边形，
∴∠E'OD=∠F'OB，∠DE'O=∠BF'O，
由（1）得OB=OD，
∴△E'OD≌△F'OB（ASA）．
∴OE′=OF′恒成立．
分析：（1）根据题意可得出∠EOD=∠FOB，∠DEO=∠BFO，从而结合题意利用ASA可证明△EOD≌△FOB，继而可证得结论．
（2）在旋转的过程中始终有∠E'OD=∠F'OB，∠DE'O=∠BF'O，结合（1）的结论即可证明△E'OD≌△F'OB，这样即可作出判断．
点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，难度一般，解答本题的关键是根据平行四边形对边平行的性质得出∠E'OD=∠F'OB，∠DE'O=∠BF'O，然后结合题意即可作出判断．