【题目】如图,AB是圆O的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD交圆的切线BE于点E
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;
(2)如果∠BED=60°,PD=,求PA的长.
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上,如图2,求证:四边形DFBE为菱形.
【答案】(1)直线PD为⊙O的切线,证明详见解析;(2)PA=1;(3)详见解析.
【解析】
(1)连接OD,由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°,进而求得∠ADO+∠PDA=90°,即可得出直线PD为⊙O的切线;
(2)根据BE是⊙O的切线,则∠EBA=90°,即可求得∠P=30°,再由PD为⊙O的切线,得∠PDO=90°,根据三角函数的定义求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;
(3)根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,由AB是圆O的直径,得∠ADB=90°,设∠PBD=x°,则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,由圆内接四边形的性质得出x的值,可得出△BDE是等边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.
(1)直线PD为⊙O的切线,
理由如下:
如图1,连接OD,
∵AB是圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADO+∠BDO=90°,
又∵DO=BO,
∴∠BDO=∠PBD,
∵∠PDA=∠PBD,
∴∠BDO=∠PDA,
∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD,
∵点D在⊙O上,
∴直线PD为⊙O的切线;
(2)∵BE是⊙O的切线,
∴∠EBA=90°,
∵∠BED=60°,
∴∠P=30°,
∵PD为⊙O的切线,
∴∠PDO=90°,
在Rt△PDO中,∠P=30°,PD=,
∴,解得OD=1,
∴=2,
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1;
(3)如图2,
依题意得:∠ADF=∠PDA,∠PAD=∠DAF,
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF,
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF,
∵AB是圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
设∠PBD=x°,则∠DAF=∠PAD=90°+x°,∠DBF=2x°,
∵四边形AFBD内接于⊙O,
∴∠DAF+∠DBF=180°,
即90°+x+2x=180°,解得x=30°,
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°,
∵BE、ED是⊙O的切线,
∴DE=BE,∠EBA=90°,
∴∠DBE=60°,∴△BDE是等边三角形,
∴BD=DE=BE,
又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°,
∴△BDF是等边三角形,
∴BD=DF=BF,
∴DE=BE=DF=BF,
∴四边形DFBE为菱形.
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【题目】如图,公路AB和公路CD在点P处交汇,点E处有一所学校,EP=160米,点E到公路AB的距高EF=80米,假若拖拉机行驶时,周围100米内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路AB上沿方向行驶时,学校是否受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?
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【题目】已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位长度,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为__________.
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【题目】如图,在中,,D是AB上的点,过点D作交BC于点F,交AC的延长线于点E,连接CD,,则下列结论正确的有( )
①∠DCB=∠B;②CD=AB;③△ADC是等边三角形;④若∠E=30°,则DE=EF+CF.
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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【题目】(12分)如图,已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线,切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D、C,过C作直线CE丄AB,交AB的延长线于点E.
(1)求证:CB平分∠ACE;
(2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半径.
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【题目】为了提高服务质量,某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升,已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元,如果提升相同数量的套房,甲种套房费用为625万元,乙种套房费用为700万元.
(1)甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元?
(2)如果需要甲、乙两种套房共80套,市政府筹资金不少于2090万元,但不超过2096万元,且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升,市政府对两种套房的提升有几种方案?哪一种方案的提升费用最少?
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,下列结论:①CD=ED;②AC+BE=AB;③∠BDE=∠BAC;④BE=DE;⑤SBDE:S△ACD=BD:AC,其中正确的个数( )
A.5个B.4个C.3个D.2个
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【题目】如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30°方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行_____小时即可到达.(结果保留根号)
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【题目】在学校组织的“文明出行”知识竞赛中,8(1)和8(2)班参赛人数相同,成绩分为A、B、C三个等级,其中相应等级的得分依次记为A级100分、B级90分、C级80分,达到B级以上(含B级)为优秀,其中8(2)班有2人达到A级,将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图,请解答下列问题:
(1)求各班参赛人数,并补全条形统计图;
(2)此次竞赛中8(2)班成绩为C级的人数为_______人;
(3)小明同学根据以上信息制作了如下统计表:
平均数(分) | 中位数(分) | 方差 | |
8(1)班 | m | 90 | n |
8(2)班 | 91 | 90 | 29 |
请分别求出m和n的值,并从优秀率和稳定性方面比较两个班的成绩;
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