Question

20．设方程x²-4x-3=0的两根为x₁、x₂．求下列各式的值．
（1）${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$；
（3）${x}_{1}^{2}$x₂+${x}_{2}^{2}$x₁．

Answer 1

分析 由于方程x²-4x-3=0的两个实数根为x₁，x₂，利用根与系数的关系即可得到两根之和和两根之积，然后利用完全平方公式就可以求出代数式的值．

解答 解：∵方程x²-4x-3=0的两根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=-3，
（1）${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16+6=22；
（2）$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16+6}{-3}$=-$\frac{22}{3}$；
（3）${x}_{1}^{2}$x₂+${x}_{2}^{2}$x₁=x₁x₂（x₁+x₂）=-3×4=-12．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．