Question

如图，△ABC中，点O在边AB上，过点O作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，过点B作BE⊥BD，交直线OD于点E．
（1）求证：OE=OD；
（2）当点O在什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由；
（3）在满足（2）的条件下，还需△ABC满足什么条件时，四边形BDAE是正方形？写出你确定的条件，并画出图形，不必证明______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据角平分线的性质，和平行线的性质，证明角相等，然后再证明边相等，等量代换得出结论．
（2）当点O是边AB的中点时，四边形BDAE是矩形，先证明四边形是平行四边形，再证明有一个角是直角就可以得证．
（3）△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形时，四边形BDAE是正方形．
解答：（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2．
∵DE∥BC，∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OB=OD
∵BE⊥BD∴∠EBD=90°
∴∠4+∠2=∠5+∠3=90°
∴∠4=∠5
∴OE=OB
∴OE=OD（3分）

（2）解：当点O是边AB的中点时，四边形BDAE是矩形．（4分）
理由：当点O是边AB的中点时，OA=OB
∵OE=OD
∴四边形BDAE是平行四边形
∵∠EBD=90°
∴四边形BDAE是矩形（5分）

（3）解：当△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°时，
四边形BDAE是正方形．（6分）
（说出“∠ABC为直角”即可）
点评：本题考查矩形的性质，平行线的性质，角平分线的性质以及正方形的判定定理等知识点．