Question

12．如图1，点C和动点E在射线AT上，以AC为边作Rt△ABC，使∠BCA=90°，且BC=8，AB=10，边BC上有一动点P，使BP=CE，边AB上有一动点Q，使AQ=2CE，连结PQ，EQ，以PQ，EQ为邻边作?EQPF，设CE=m（m＜5），

（1）当E在线段AC上运动时，
①当m=2.5，求PQ的值；
②当FQ∥AC时，求m的值；
（2）在点E的整个运动过程中，当m为何值时2，?EQPF的面积恰好被线段BC或射线AT分成1：3的两部分，求出所有符合条件的m是值；
（3）如图2，以EQ为直径作⊙O，⊙O与射线AT相交于点E，G，与直线BC相交于点M，N，若MN=EG，则m=$\frac{10}{3}$（直接写出m的值）．

Answer 1

分析 （1）①如图1中，作QH⊥BC于H，QG⊥AC于G．，则四边形CGQH是矩形．在Rt△求出PH、QH即可解决问题．
②如图2中，连接PE交FQ于N，FQ交PC于G，作QM⊥AC于M．由四边形PQEF是平行四边形，推出PN=NE，由FQ∥AC，推出PG=GC，易证四边形CGQM是矩形，根据CG=QM，可得$\frac{1}{2}$（8-m）=$\frac{4}{5}$•2m，解方程即可．
（2）分两种情形讨论①如图3中，连接PE，作FG⊥PC于G，QM⊥AC于M，PC交EF于H．②如图4中，作QG⊥BC于G，FM⊥AC于M，连接FQ，PF交AC于H．分别构建方程即可解决问题．
（3）如图5中，作OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，FO的延长线交AB于T，CO的延长线交AB于K．由MN=EG，推出OF=OH，推出CK是∠ACB的平分线，易证：$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AK}{BK}$，可得AK=$\frac{3}{7}$×10=$\frac{30}{7}$，由OT∥AE，QO=OE，推出QT=TA=m，由OT∥AC，推出$\frac{OT}{AC}$=$\frac{KT}{KA}$，由此列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）①如图1中，作QH⊥BC于H，QG⊥AC于G．，则四边形CGQH是矩形．

在Rt△ABC，∵∠BCA=90°，BC=8，AB=10，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
由题意CE=BP=2.5，AQ=5，
∵QG∥BC，
∴$\frac{QG}{BC}$=$\frac{AG}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴QG=4，AG=3，
∴CG=HQ=3，CH=GQ=4，PH=1.5，
∴PQ=$\sqrt{P{H}^{2}+Q{H}^{2}}$=$\sqrt{1．{5}^{2}+{3}^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$．

②如图2中，连接PE交FQ于N，FQ交PC于G，作QM⊥AC于M．

∵四边形PQEF是平行四边形，
∴PN=NE，
∵FQ∥AC，
∴PG=GC，
易证四边形CGQM是矩形，
CG=QM，
∴$\frac{1}{2}$（8-m）=$\frac{4}{5}$•2m，
∴m=$\frac{40}{21}$．

（2）①如图3中，连接PE，作FG⊥PC于G，QM⊥AC于M，PC交EF于H．

当H是EF中点时，S_△PFH=$\frac{1}{2}$S_△PEF，
∵S_△PEF=S_△PEQ，
∴?EQPF的面积恰好被线段BC分成1：3的两部分，
易证△FGH≌△ECH，△PFG≌△QEM，
∴FG=CE=EM，
∴m=6-m-$\frac{3}{5}$•2m，
∴m=$\frac{15}{8}$
②如图4中，作QG⊥BC于G，FM⊥AC于M，连接FQ，PF交AC于H．

当PH=FH时，?EQPF的面积恰好被射线AT分成1：3的两部分，
易证FM=PC=PG，
∴8-m=m-$\frac{4}{5}$（10-2m），
∴m=$\frac{40}{7}$．
综上所述，当m=$\frac{15}{8}$或$\frac{40}{7}$时，?EQPF的面积恰好被线段BC或射线AT分成1：3的两部分．

（3）如图5中，作OF⊥BC于F，OH⊥AC于H，FO的延长线交AB于T，CO的延长线交AB于K．

∵MN=EG，
∴OF=OH，
∴CK是∠ACB的平分线，
易证：$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AK}{BK}$，可得AK=$\frac{3}{7}$×10=$\frac{30}{7}$，
∵OT∥AE，QO=OE，
∴QT=TA=m，
∵OT∥AC，
∴$\frac{OT}{AC}$=$\frac{KT}{KA}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（6-m）}{6}$=$\frac{\frac{30}{7}-m}{\frac{30}{7}}$，
∴m=$\frac{10}{3}$，
∴m=$\frac{10}{3}$时，MN=EG．
故答案为$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查圆综合题、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．