Question

18．如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S_△GAD=S_{四边形GHCE}，⑤CF=BD．正确的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据BC=2AB，H为BC中点，可得△ABH为等腰直角三角形，HE=BH=HC，可得△CEH为等腰三角形，又∠BCD=90°，CE⊥BD，利用互余关系得出角的相等关系，根据基本图形判断全等三角形，特殊三角形进行判断．

解答 解：①在△BCE中，∵CE⊥BD，H为BC中点，
∴BC=2EH，又BC=2AB，
∴EH=AB，①正确；
②由①可知，BH=HE∴∠EBH=∠BEH，
又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°，
∴∠ABG=∠HEC，②正确；
③由AB=BH，∠ABH=90°，得∠BAG=45°，
同理：∠DHC=45°，∴∠EHC＞∠DHC=45°，
∴△ABG≌△HEC，③错误；
④作AM⊥BD，则AM=CE，△AMD≌△CEB，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△HGB，
∴$\frac{AG}{GH}$=2，
即△ABG的面积等于△BGH的面积的2倍，
根据已知不能推出△AMG的面积等于△ABG的面积的一半，
即S_△GAD≠S_{四边形GHCE}，
∴④错误
⑤∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，
又∠ECH=∠CDE=∠BAO，∠BAO=∠BAH+∠HAC，
∴∠F=∠HAC，
∴CF=BD，⑤正确．
正确的有3个．
故选C．

点评 此题主要考查了等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定．解答该题的关键是证明等腰三角形，全等三角形．本题综合性较强，难度比较大．