Question

9．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点M为直线y=mx在第一象限上一点，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值．
（3）如图3，过点A（2，0）的直线y=kx-2k交y轴负半轴于点P，N点的横坐标为-1，过N点的直线y=$\frac{k}{2}$x-$\frac{k}{2}$交AP于点M．求$\frac{PM-PN}{AM}$的值．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；
（2）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐标即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，同法求出M的坐标；③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥x轴于N，MH⊥y轴于H，证△BHM≌△AMN，求出M的坐标即可．
（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．

解答 解：（1）∵A（2，0），B（0，4），
设直线AB的解析式是y=kx+b，
代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=4，
∴直线AB的解析式是y=-2x+4．
（2）分三种情况：
①如图1，

当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥y轴于N，
∵BM⊥BA，MN⊥y轴，OB⊥OA，
∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，
∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，
∴∠ABO=∠NMB，
在△BMN和△ABO中$\left\{\begin{array}{l}{∠MNB=∠BOA}\\{∠NMB=∠ABO}\\{BM=AB}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△ABO（AAS），
MN=OB=4，BN=OA=2，
∴ON=2+4=6，
∴M的坐标为（4，6 ），
代入y=mx得：m=$\frac{3}{2}$，
②如图2，

当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥x轴于N，
易知△BOA≌△ANM（AAS），
同理求出M的坐标为（6，2），
代入y=mx得：m=$\frac{1}{3}$，
③如图4，

当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，
∴四边形ONMH为矩形，
易知△BHM≌△AMN，
∴MN=MH，
设M（x₁，x₁）代入y=mx得：x₁=m x₁，
∴m=1，
答：m的值是$\frac{3}{2}$或$\frac{1}{3}$或1．
（3）解：如图，

设NM与x轴的交点为H，过M作MG⊥x轴于G，过H作HD⊥x轴，
HD交MP于D点，
即：∠MGA=∠DHA=90°，连接ND，ND 交y轴于C点
由y=$\frac{k}{2}$x-$\frac{k}{2}$与x轴交于H点，
∴H（1，0），
由y=$\frac{k}{2}$x-$\frac{k}{2}$与y=kx-2k交于M点，
∴M（3，k），
而A（2，0），
∴A为HG的中点，AG=AH，∠MAG=∠DAH
∴△AMG≌△ADH（ASA），
∴AM=AD             
又因为N点的横坐标为-1，且在y=$\frac{k}{2}$x-$\frac{k}{2}$上，
∴N（-1，-k），
同理：D（1，-k），P（0，-2k），
∴N关于y轴对称点为D，
∴PC是ND的垂直平分线，
∴PN=PD，ND平行于X轴，
易知△ADH≌△DPC，
∴AD=PD，
∴PN=PD=AD=AM，
∴$\frac{PM-PN}{AM}$=$\frac{3AM-AM}{AM}$=2．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．