如图,在平面直角坐标系xOy中,AB在x轴上,以AB为直径的半⊙O’与y轴正半轴交于点C,连接BC,AC.CD是半⊙O’的切线,AD⊥CD于点D.
(1)求证:∠CAD =∠CAB;
(2)已知抛物线过A、B、C三点,AB=10 ,tan∠CAD=.
① 求抛物线的解析式;
② 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上,并说明理由;
③ 在抛物线上是否存在一点P,使四边形PBCA是直角梯形.若存在,直接写出点P的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
解:
(1)证明:连接O'C,∵ CD是⊙O’的切线 ∴ O'C⊥CD.
∵ AD⊥CD,∴ O'C‖AD,∴ ∠O’CA=∠CAD
∵ O’A=O'C, ∴∠O’CA=∠CAB ∴ ∠CAD=∠CAB
(2)∵AB是⊙O’的直径,∴∠ACB=90°.
∵OC⊥AB,∴∠CAB=∠OCB,∴∆CAO∽∆BCO∴即OC²=OA∙ OB
∵tan∠CAO=tan∠CAD=, ∴AO=2CO
又 ∵AB=10,∴OC²=2CO(10-2CO), ∵CO>0 ∴CO=4,AO=8,BO=2
∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4) ..∵ 抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点,∴c=4
∴ 解得
设直线DC交x轴于点F,易得∆AOC∽∆ADC
∴ AD=AO=8, ∵O'C‖AD ∴∆FO’C∽∆FAD ∴
∴8(BF+5)=5(BF+10), ∴ BF=, F(,0)
设直线DC的解析式为y=kx+m,则 即
∴ .
由
将E(-3,)代入直线DC的解析式中
右边=
∴ 抛物线顶点E在直线CD上 .
存在,
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李老师做了个长方形教具,其中一边长为2a+b,另一边长为a-b,则该长方形的面积为( ).
A.6a+b B.2a2-ab-b2 C.3a D.10a-b
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已知:如图,AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D且DE⊥AC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若∠C=30°,CD=12,求⊙O的直径.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣2,0),等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是 个单位长度;
(2)△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是 ;
(3)△AOC绕原点O顺时针旋转可以得到△DOB,则旋转角度是 度,在此旋转过程中,△AOC扫过的图形的面积是 .
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如图,电线杆上的路灯距离地面8米,身高1.6米的小明(AB)站在距离电线杆的底部(点O)20米的A处, 则小明的影子AM长为
A.4米 B.5米 C.6米 D.8米
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射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心,cm为半径的圆与△的边相切,请写出t可取的所有值 .
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如图,小明同学在东西方向的环海路A处,测得海中灯塔P在北偏东60°方向上,在A处正东500米的B处,测得海中灯塔P在北偏东30°方向上,则灯塔P到环海路的距离PC等于多少米?
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