Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA﹣AD以每秒5个单位长的速度向点D匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度向点B匀速运动；点P、Q同时出发，当点P与点D重合时停止运动，点Q也随之停止，设点P的运动时间为t秒．

（1）点P到达点A、D的时间分别为　_________　秒和　_________　秒；

（2）当点P在BA边上运动时，过点P作PN∥BC交DC于点N，作PM⊥BC，垂足为M，连接NQ，已知△PBM与△NCQ全等．

①试判断：四边形PMQN是什么样的特殊四边形？答：　_________　；

②若PN=3PM，求t的值；

（3）当点P在AD边上运动时，是否存在PQ=DC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：（1）10和25；

 

（2）①矩形

②依题意可得：BP=5t，CQ=3t，BM=CQ=3t

∴MQ=BC﹣2CQ=135﹣6t

∵四边形PMQN是矩形

∴PN=MQ=135﹣6t

∵PM⊥BC

∴∠PMB=90°

根据勾股定理，得：，

∵PN=3PM，135﹣6t=3×4t

解得：t=7.5；

 

（3）当点P在AD上（即10≤t≤25）时，存在PQ=DC．有下列两种情况：

①如图1，当PQ∥DC时，

∵PD∥QC

∴四边形PQCD是平行四边形

∴PQ=DC，PD=QC

此时135﹣5t=3t

解得：；

 

②如图2，当PQ∥AB时，

∵AP∥BQ

∴四边形ABQP是平行四边形

∴AP=BQ                                                      

即：5t﹣50=135﹣3t

解得：．

综上所述，当点P在AD边上运动时，存在PQ=DC，或