Question

初三的灵灵从小就喜欢动手动脑，请看他的研究：
（1）以AB为直径画半圆O；
（2）在半圆O上任取一点C；
（3）画∠ACB的角平分线与AB相交于点D；
（4）画CD的中垂线L与AC、BC分别相交于E、F；
（5）连接DE、DF．
如图，他发现：①∠ADE与∠BDF互余；②四边形CEDF为正方形；③四边形CEDF的面积为AE×BF．你认为其中正确的有（ ）

A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

Answer 1

【答案】分析：由于AB是直径，由圆周角定理知∠ACB=90°，而EF⊥OC，且OC是∠ECF的角平分线，即可证得△ECF是等腰直角三角形，CE=CF，由中垂线的性质知：CE=DE=CF=DF，即可证得四边形CEDF是正方形，然后根据这个条件来判断各选项是否正确．
解答：解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
由（4）知：EF⊥CD，而CD平分∠ECF，易证得△ECF是等腰三角形；
∴CE=CF；
∵直线l垂直平分CD，
∴CE=DE，CF=DF，即CE=CF=DE=DF，
∴四边形CEDF是正方形；（故②正确）
∴∠EDF=90°，则∠ADE+∠BDF=90°，（故①正确）
由②知：DF∥AC，则∠FDB=∠EAD，
易证得Rt△AED∽Rt△DFB，
∴DE•DF=AD•BD，即四边形CEDF的面积为AD•DB，（故③正确）
因此3个结论都正确，
故选D．
点评：此题主要考查了圆周角定理、正方形的判定、线段垂直平分线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识，能够得到四边形CEDF是正方形是解决此题的关键．