分析 (1)结论:△AGH是等边三角形,四边形PHFG是菱形.只要证明AG=AH,即可证明△AGH是等边三角形.只要证明PH=HF=FG=GP即可解决问题.
(2)连接BE.理由三角形中位线定理,证明FG∥PH,FG=PH即可.
(3)结论:△AGH是等边三角形.先证明△CAE≌△BAD,再证明△GAE≌△HAD,推出∠GAE=∠HAD,推出∠GAH=∠EAD=60°即可解决问题.
解答 (1)解:结论:△AGH是等边三角形,四边形PHFG是菱形.
理由:如图1中,连接BE、CD.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,AC=AB,
∵AE=EC,AD=DB,EG=GC,HD=HB,
∴AG=AH,CD、BE是等边三角形的高,
∴△AGH是等边三角形,CD=BE,
∵EP=PD,EG=GC,
∴GP=$\frac{1}{2}$CD,同理可证HF=$\frac{1}{2}$CD,PH=$\frac{1}{2}$BE,FG=$\frac{1}{2}$BE,
∴PH=HF=FG=GP,
∴四边形PHFG是菱形.
故答案为等边三角形,菱形.
(2)证明:如图2中,连接BE.
∵CG=GE,CF=FB,
∴FG∥EB,GF=$\frac{1}{2}$BE,
∵DP=PE,DH=HB,
∴PH∥BE,PH=$\frac{1}{2}$BE,
∴GF∥PH,GF=PH,
∴四边形PHFG是平行四边形.
(3)解:结论:△AGH是等边三角形.
理由:如图3中,
∵△ABC,△DAE是等边三角形,
∴∠CAB=∠EAD=60°,CA=BA,EA=DA,
∴∠CAE=∠BAD,
∴△CAE≌△BAD,
∴EC=BD,
∵AG、AH分别是△ACE、△ABD的中线,
∴AG=AH,EG=DH,∵AE=AD,
∴△GAE≌△HAD,
∴∠GAE=∠HAD,
∴∠GAH=∠EAD=60°,
∴△AGH是等边三角形.
点评 本题考查四边形综合题、等边三角形的判定和性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练应用三角形的中位线定理,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
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A. | $\frac{45}{x+20}$-$\frac{45}{x}$=$\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{45}{x}$-$\frac{45}{x+20}$=$\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{45}{x-20}$-$\frac{45}{x}$=1 | D. | $\frac{45}{x}$-$\frac{45}{x-20}$=1 |
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