Question

1．在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，若AB=5，BC=4，求BD的长．

Answer 1

分析 利用∠ADC=60°，AD=DC可把△DCB绕点D逆时针旋转60°得到△DCE，如图，根据旋转的性质得DB=DE，AE=CB=4，∠1=∠2，∠BDE=60°，于是可判断△DBE为等边三角形，得到BD=BE，∠DBE=∠DEB=60°，接着利用∠1+∠3=30°可得到∠4+∠5=90°，然后利用勾股定理计算出BE，从而得到BD的长．

解答 解：∵∠ADC=60°，AD=DC，
∴把△DCB绕点D逆时针旋转60°得到△DCE，如图，
∴DB=DE，AE=CB=4，∠1=∠2，∠BDE=60°，
∴△DBE为等边三角形，
∴BD=BE，∠DBE=∠DEB=60°，
即∠2+∠4+∠3+∠5=120°，
∵∠1+∠3=30°，
∴∠2+∠3=30°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠BAE=90°，
在Rt△BAE中，BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴BD的长为$\sqrt{41}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．