Question

如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁，S₂，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．

Answer 1

（1）对，理由见解析 （2）见解析

试题分析：（1）设△ABC的边AB上的高为h，由三角形的面积公式即可得出=，=，再由点D为边AB的黄金分割点可得出=，故可得出结论；
（2）由DF∥CE可知△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，故S_△DEC=S_△FCE，设直线EF与CD交于点G，由同底等高的三角形的面积相等可知S_△DEG=S_△FEG，故可得出S_△ADC=S_{四边形AFGD}+S_△FCG=S_△AEF，再由S_△BDC=S_{四边形BEFC}，再由=可知=，故直线EF也是△ABC的黄金分割线．
解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h．
∵S_△ADC=AD•h，S_△EDC=BD•h，S_△ABC=AB•h，
∴=，=，
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴=，
∴=，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）∵DF∥CE，
∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，
∴S_△DEC=S_△FCE，
设直线EF与CD交于点G，
∴S_△DEG=S_△FCG，
∴S_△ADC=S_{四边形AFGD}+S_△FCG=S_{四边形AFGD}+S_△DGE=S_△AEF，
S_△BDC=S_{四边形BEFC}，．
又∵=，
∴=，
∴直线EF也是△ABC的黄金分割线．

点评：本题考查的是相似形综合题，涉及到平行线的性质及三角形的面积公式，根据题意理解黄金分割点及分割线的定义是解答此题的关键．