【题目】如图,∠ACB=90°,AC=BC,CD平分∠ACB,点D,E关于CB对称,连接EB并延长,与AD的延长线交于点F,连接DE,CE.对于以下结论:
①DE垂直平分CB;②AD=BE;③∠F不一定是直角;④EF2+DF2=2CD2.
其中正确的是( )
A.①④B.②③C.①③D.②④
【答案】D
【解析】
根据点D,E关于CB对称,可得CB垂直平分DE,即可判断①错误;根据CB垂直平分DE,连接BD,可得BD=BE,证明△ACD≌△BCD,可得AD=BD,即可判断②;结合①②证明△ACD≌△BCD≌△BCE,可得∠CAD=∠CEB=(180°-45°)=67.5°,∠FED=67.5°-45°=22.5°,进而证明角F的度数,即可判断③;在Rt△FDE中,根据勾股定理,得EF2+DF2=DE2,根据∠DCE=90°,CD=CE,即可判断④.
①∵点D、E关于CB对称,
∴CB垂直平分DE,
所以①错误;
②连接BD,如图,
∵CB垂直平分DE,
∴BD=BE,
∵∠ACB=90°,CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
在△ACD和△BCD中,
,
∴△ACD≌△BCD(SAS),
∴AD=BD,
∴AD=BE,
所以②正确;
③∵CB垂直平分DE,
∴BD=BE,CD=CE,
在△BCD和△BCE中,
,
∴△BCD≌△BCE(SSS),
∴△ACD≌△BCD≌△BCE,
∴∠ACD=∠DCB=∠ECB=45°,
∴CA=CD=CB=CE,
∴∠CAD=∠CEB=(180°-45°)=67.5°,
∵∠CED=∠CDE=(180°-∠DCB-∠ECB) =45°,
∴∠FED=67.5°-45°=22.5°,
∵∠CDE=∠ACD=45°,
∴DE∥AC,
∴∠FDE=∠A=67.5°,
∴∠F=180°-∠FDE-∠FED=90°,
所以③错误;
④在Rt△FDE中,根据勾股定理,得:
EF2+DF2=DE2,
∵∠DCE=∠DCB+∠ECB=90°,CD=CE,
∴DE2=CD2+CE2=2CD2,
∴EF2+DF2=2CD2,
所以④正确.
综上所述:正确的是②④.
故选:D.
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【题目】如图,已知抛物线经过点,,,点为中点,连接、,并延长交于点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)若抛物线与抛物线关于轴对称,在抛物线位于第二象限的部分上取一点,过点作轴,垂足为点,是否存在这样的点,使得与相似?若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,以CD为直径的⊙O分别交AC,BC于点E,F两点,过点F作FG⊥AB于点G.
(1)试判断FG与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若AC=3,CD=2.5,求FG的长.
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【题目】如图1和图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上.
(1)在图1中画出以AB为斜边的直角三角形ABC,点C在小正方形的顶点上,且;
(2)在图2中画出以AB为一边的等腰三角形ABD,点D在小正方形的顶点上,且的面积为16.
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【题目】为发展学生的核心素养,培养学生的综合能力,某学校计划开设四门选修课:乐器、舞蹈、绘画、书法,学校采取随机抽样的方法进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门) .对调查结果进行整理,绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给信息解答下列问题:
本次调查的学生共有___ 人,在扇形统计图中,的值是_ ;
将条形统计图补充完整;
在被调查的选修书法的学生中,有名为女同学,其余为男同学,现要从选修书法的同学中随机抽取名同学代表学校参加某社区组织的书法活动,请你用列表或画树状图的方法.求所抽取的名同学恰好是名男同学和名女同学的概率.
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【题目】甲、乙二人均从A地出发,甲以60米/分的速度向东匀速行进,10分钟后,乙以(60+m)米/分的速度按同样的路线去追赶甲,乙出发5.5分钟后,甲以原速原路返回,在途中与乙相遇,相遇后两人均停止行进.设乙所用时间为t分钟.
(1)当m=6时,解答:
①设甲与A地的距离为,分别求甲向东行进及返回过程中,与t的函数关系式(不写t的取值范围);
②当甲、乙二人在途中相遇时,求甲行进的总时间.
(2)若乙在出发9分钟内与甲相遇,求m的最小值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形,以此方式,绕点O旋转2018次得到正方形,如果点A的坐标为(1,0),那么那么点的坐标为_____.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点,点A在点B左侧,顶点在折线M﹣P﹣N上移动,它们的坐标分别为M(﹣1,4)、P(3,4)、N(3,1).若在抛物线移动过程中,点A横坐标的最小值为﹣3,则a﹣b+c的最小值是_____.
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【题目】某学校初一、初二年级各有500名学生,为了解两个年级的学生对消防安全知识的掌握情况,学校从初一、初二年级各随机抽取20名学生进行消防安全知识测试,满分100分,成绩整理分析过程如下,请补充完整:
(收集数据)
初一年级20名学生测试成绩统计如下:
78 56 74 81 95 75 87 70 75 90 75 79 86 60 54 80 66 69 83 97
初二年级20名学生测试成绩不低于80,但是低于90分的成绩如下:
83 86 81 87 80 81 82
(整理数据)按照如下分数段整理、描述两组样本数据:
成绩 | 0 | ||||
初一 | 2 | 3 | 7 | 5 | 3 |
初二 | 0 | 4 | 5 | 7 | 4 |
(分析数据)两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示:
年级 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 方差 |
初一 | 76.5 | 76.5 | 132.5 | |
初二 | 79.2 | 74 | 100.4 |
(1)直接写出,的值;
(2)根据抽样调查数据,估计初一年级消防安全知识测试成绩在70分及其以上的大约有多少人?
(3)通过以上分析,你认为哪个年级对消防安全知识掌握得更好,并说明推断的合理性.
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