Question

如图抛物线过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M为 (2,4)；矩形ABCD顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.     
【小题1】求该抛物线所对应的函数关系式；
【小题2】将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速从图示位置沿x轴正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线交点为N
①当t=时，判断点P是否在直线ME上，说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？说明理由．

Answer 1

【小题1】
【小题2】①不在，理由见解析。②S存在最大值.解析:

（2）①点P不在直线ME上.                              
根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0)，
又M的坐标为(2,4)，设直线ME的关系式为y=kx+b.
于是得 ，解得
所以直线ME的关系式为y="-2x+8." …………………………………………………4分
由已知条件易得，当t时，OA=AP，   ……………………5分
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.       
∴当t时，点P不在直线ME上.    ………………………………………6分          
② S存在最大值. 理由如下：                         
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴ OA=AP=t.
∴点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t ²+4t)      
∴AN=-t ²+4t (0≤t≤3) ,