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    在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．
    （1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），PC的长为
     
    ；
    （2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中（如图①是该过程的某个时刻），请你观察、猜想，并解答：
    PF
    PE
    的值是否发生变化？如果不变，只需直接写出比值，如果发生变化，请简单说明理由．
     

    （3）连接PB，如图③，在直角尺旋转过程中，随着点E和F位置的改变，我们容易发现，当BE=PE时，
    EF垂直平分PB，请计算求出这时点E在距离A点多远处？
    考点：几何变换综合题
    专题：
    分析：（1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；
    （2）
    PF
    PE
    的值不变．理由为：过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APE∽△GFP，得相似比
    PF
    PE
    =
    GF
    AP
    =
    2
    1
    =2，再利用锐角三角函数的定义求值；
    （3）根据勾股定理，可得关于x的一元一次方程，解方程，可得答案．
    解答：（1）解：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
    AP=1，CD=AB=2，则PB=
    		5
    ，
    ∴∠ABP+∠APB=90°，
    又∵∠BPC=90°，
    ∴∠APB+∠DPC=90°，
    ∴∠ABP=∠DPC，
    ∴△APB∽△DCP，
    ∴
    AP
    CD
    =
    PB
    PC
    ，即
    1
    2
    =
    		5
    PC
    ，
    ∴PC=2
    		5
    ；
    故答案为：2
    		5

    （2）
    PF
    PE
    的值不变．理由为：
    证明：过F作FG⊥AD，垂足为G，
    则四边形ABFG是矩形，
    ∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，
    ∴∠AEP+∠APE=90°，
    又∵∠EPF=90°，
    ∴∠APE+∠GPF=90°，
    ∴∠AEP=∠GPF，
    ∴△APE∽△GFP，
    ∴
    PE
    PE
    =
    GF
    AP
    =
    2
    1
    =2，
    ∴Rt△EPF中，tan∠PEF=
    PF
    PE
    =2，
    ∴
    PF
    PE
    的值不变，
    故答案为：
    PF
    PE
    的值不变；
    （3）解：设AE=x，BE=2-x，
    由PE=BE=2-x．
    在Rt△APE中，由勾股定理，得
    AE2+AP2=PE2，
    即x2+1=（2-x）2．
    解得x=
    3
    4
    ，
    点E在距离A点
    3
    4
    时，EF垂直平分PB．
    点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，以及解直角三角形，勾股定理，解题的关键是利用互余关系证明相似三角形．
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    （3）点P的坐标．

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    		AB-4
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    （1）求BD的长；
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    1
    2
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    ．

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