Question

15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=a（x-m）（x-3）与x轴从左到右依次交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，连接AC、BC，点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t，AP交y轴于点D，若CD=2t，∠ACB=45°，求a、m的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点Q在x轴的正半轴上，PA=PQ，点E在第二象限内，其横坐标与点A的横坐标相等，QE⊥AP，若∠PEA=135°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）令y=0，得到a（x-m）（x-3）=0，求出x的值，即可求得点B坐标．
（2）如图2中，作AM⊥BC于M．先求出直线AP的解析式为y=-$\frac{3am-2t}{m}$x+3am-2t，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3am-2t}{m}x+3am-2t}\\{y=a（x-m）（x-3）}\end{array}\right.$，消去y得到amx²-（am²+2t）x+2tm=0，
解得x=m或t，推出mt=$\frac{2tm}{am}$，推出am=2，推出点C坐标（0，6），由△AMB∽△COB得到$\frac{AM}{BM}$=$\frac{CO}{OB}$=$\frac{6}{3}$=2，推出AM=2BM，BC=3BM=3$\sqrt{5}$，推出BM=$\sqrt{5}$，AM=2$\sqrt{5}$，推出AB=5，A（-2，0），由此即可解决问题．
（3）如图3中，作PM⊥AE交AE的延长线于M，设P（t，-t²+t+6），由PA⊥EQ，推出k_AP•k_EQ=-1，可得方程$\frac{-{t}^{2}+t+6-0}{t+2}$•$\frac{{t}^{2}-4}{-2-2t-2}$=-1，解方程即可．

解答 解：（1）对于抛物线y=a（x-m）（x-3），令y=0得到a（x-m）（x-3）=0，
∴x=3或m，
∴点B坐标（3，0）．

（2）如图2中，作AM⊥BC于M．

由题意C（0，3am），D（0，3am-2t），
∴可得直线AP的解析式为y=-$\frac{3am-2t}{m}$x+3am-2t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3am-2t}{m}x+3am-2t}\\{y=a（x-m）（x-3）}\end{array}\right.$，消去y得到amx²-（am²+2t）x+2tm=0，
解得x=m或t，
∴mt=$\frac{2tm}{am}$，
∴am=2，
∴点C坐标（0，6），
∵∠ACM=∠CAM=45°，
∴AM=CM，
由△AMB∽△COB得到$\frac{AM}{BM}$=$\frac{CO}{OB}$=$\frac{6}{3}$=2，
∴AM=2BM，BC=3BM=3$\sqrt{5}$，
∴BM=$\sqrt{5}$，AM=2$\sqrt{5}$，
∴AB=5，A（-2，0），
∴m=-2，a=-1．

（3）如图3中，作PM⊥AE交AE的延长线于M，设P（t，-t²+t+6）．

∵PA=PQ，
∴Q（2t+2，0），
∵∠AEP=135°，
∴∠MEP=∠MPE=45°，
∴PM=ME=t+2，
∴E（-2，-t²+4），
∵PA⊥EQ，
∴k_AP•k_EQ=-1，
∴$\frac{-{t}^{2}+t+6-0}{t+2}$•$\frac{{t}^{2}-4}{-2-2t-2}$=-1，
整理得t²-5t+4=0，
∴t=1或4（舍弃），
∴点P坐标为（1，6）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等腰直角三角形的判定和性质、两直线的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，记住两直线垂直，k的乘积为-1，属于中考压轴题．