Question

2．已知：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥DC
（1）若∠AEF=∠B，写出图中存在的相似三角形；
（2）若AF=2，AB=6，EF=3．①求AD的长；②求DE的长；③求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由“平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”与“两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似”判定图中的相似三角形．
（2）应用相似三角形的性质求解．

解答 解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∵EF∥DC，
∴△AFE∽△ADC，
∵DE∥BC，EF∥DC
∴∠ADE=∠B，∠EDC=∠DCB，∠FED=∠EDC，
又∠AEF=∠B，
∴∠B=ECD=∠EDF，∠∠DFE=∠BDC=∠CED
∴△FED∽△EDC∽△DCB
即：图中共有5对相似三角形：△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，△FED∽△EDC∽△DCB
（2）∵由（1）可知：△AFE∽△ADC，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AD}{DC}=\frac{2}{3}$，设公比为x，则：AD=2x，DC=3x
∴BD=6-2x，DF=2x-2．
①又（1）知：△FDE∽△DBC
∴$\frac{DF}{BD}=\frac{EF}{CD}$，即：$\frac{2x-2}{6-2x}=\frac{3}{3x}$
解之得：x=$\sqrt{3}$，
∴AD=2$\sqrt{3}$
②由（1）知：△EDF∽△DCE，
∴$\frac{DE}{CD}=\frac{EF}{DE}$
∴DE²=EF•CD=3CD=9$\sqrt{3}$
DE=3$\sqrt{\sqrt{3}}$．即：DE=3$\root{4}{3}$
③又（1）知：△ADE∽△ABC
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，即：$\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{\sqrt{3}}}{BC}$
∴BC=3$\root{4}{27}$

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质等问题，问题（1）仔细分析防止遗漏是关键．（2）中计算时要应用分数指数幂运算．