Question

已知点E是正方形ABCD中的CD的中点，F是边AD上一点，连接FE并延长交BC延长线于点G，AB=6．
（1）求证：CG=DF；
（2）连接BF，若BF＞GF，试求AF的范围．

Answer 1

（1）证明：∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在正方形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，
在△DEF和△CEG中，，
∴△DEF≌△CEG（ASA），
∴CG=DF；

（2）解：过点F作FH⊥BC于H，
则四边形ABHF和四边形CDFH都是矩形，
∴DF=HC，AF=BH，
∴GH=2DF，
设AF=x，则DF=6-x，
GH=2（6-x），
∵BF＞GF，
∴AF＞GH，
∴x＞2（6-x），
解得x＞4，
又∵点F在AD上，
∴x＜6，
∴4＜x＜6．
分析：（1）根据中点定义可得DE=CE，根据正方形的四个角都是直角可得∠BCD=∠D=90°，然后利用“角边角”证明△DEF和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=DF；
（2）过点F作FH⊥BC于H，可得GH=2DF，设AF=x，表示出DF，再表示出GH，然后根据BF＞GF得到AF＞GH，列出方程求出x的取值范围，再根据点F在AD上可知AF＜AD，从而得解．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，（1）熟记正方形的性质找出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造出两个矩形并盘淡出AF＞GH是解题的关键．