Question

【题目】如图1，在△ABC中，∠C＝90°，延长CA至点D，使AD＝AB．设F为线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DEF，且使AE⊥AB．

（1）求证：AE＝AF+BC；

（2）当点F为BA延长线上一点，而其余条件保持不变，如图2所示，试探究AE、AF、BC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE+AF＝BC．理由见解析

【解析】

（1）过D作DM⊥AE于M，在△DEM中，由余角的定义得到∠DEM+∠EDM＝90°，由于∠DEM+∠AEF＝90°，推出∠AEF＝∠EDM证得△DEM≌△EFA，根据全等三角形的性质得到AF＝EM，根据三角形的内角和和余角的定义得到∠EAD＝∠B，推出△DAM≌△ABC，根据全等三角形的性质得到BC＝AM即可得到结论；

（2）如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，根据余角的定义和三角形的内角和得到∠EAD＝∠B，证得△ADM≌△BAC，由全等三角形的性质得到BC＝AM，由于EF＝DE，∠DEF＝90°，推出∠AEF＝∠MDE，证得△MED≌△AFE，根据全等三角形的性质得到ME＝AF，即可得到结论．

（1）证明：如图1，过D作DM⊥AE于M，在△DEM中，∠DEM+∠EDM＝90°，

∵∠DEM+∠AEF＝90°，

∴∠AEF＝∠EDM，

∵DE＝FE，

在△DEM与△EFA中，

，

∴△DEM≌△EFA（AAS），

∴AF＝EM，

∵∠BAC+∠B＝90°，

∵∠EAD+∠EAB+∠BAC＝180°，

∴∠EAD+∠BAC＝90°，

∴∠EAD＝∠B，

在△DAM与△ABC中，

，

∴△DAM≌△ABC（AAS），

∴BC＝AM，

∴AE＝EM+AM＝AF+BC；

（2）解：AE+AF＝BC．理由如下：

如图2，过D作DM⊥AE交AE的延长线于M，

∵∠C＝90°，

∴∠BAC+∠B＝90°，

∵∠EAD+∠MAB+∠BAC＝180°，∠MAB＝90°，

∴∠EAD+∠BAC＝90°，∠EAD＝∠B，

在△ADM与△BAC中，

，

∴△ADM≌△BAC（AAS），

∴BC＝AM，

∵EF＝DE，∠DEF＝90°，

∵∠MED+∠DEF+∠AEF＝180°，

∴∠MED+∠AEF＝90°，

∵∠MED+∠MDE＝90°，

∴∠AEF＝∠MDE，

在△MED与△AFE中，

，

∴△MED≌△AFE（AAS），

∴ME＝AF，

∴AE+AF＝AE+ME＝AM＝BC，

即AE+AF＝BC．