Question

如图，点M(4，0)，以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线过点A和B，与y轴交于点C．

(1)求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．

(2)点Q(8，m)在抛物线上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ＋PB的最小值．

(3)CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知，得A(2，0)，B(6，0)， 　　∵抛物线过点A和B，则 　　解得 　　则抛物线的解析式为． 　　故C(0，2)．…………………………(2分) 　　(说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确)…………………………(3分) 　　(2)如图①，抛物线对称轴l是x＝4． 　　∵Q(8，m)抛物线上，∴m＝2． 　　过点Q作QK⊥x轴于点K，则K(8，0)，QK＝2，AK＝6， 　　∴AQ＝．…………………………(5分) 　　又∵B(6，0)与A(2，0)关于对称轴l对称， 　　∴PQ＋PB的最小值＝AQ＝． 　　(3)如图②，连结EM和CM． 　　由已知，得EM＝OC＝2． 　　CE是⊙M的切线，∴∠DEM＝90o，则∠DEM＝∠DOC． 　　又∵∠ODC＝∠EDM． 　　故△DEM≌△DOC． 　　∴OD＝DE，CD＝MD． 　　又在△ODE和△MDC中，∠ODE＝∠MDC，∠DOE＝∠DEO＝∠DCM＝∠DMC． 　　则OE∥CM．…………………………(7分) 　　设CM所在直线的解析式为y＝kx＋b，CM过点C(0，2)，M(4，0)， 　　∴解得 　　直线CM的解析式为． 　　又∵直线OE过原点O，且OE∥CM， 　　则OE的解析式为y＝x．…………………………(8分)