Question

如图，在平面直角坐标系中，动点P、Q同时从原点O出发，点P沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q沿y轴正方向以每秒3个单位长度的速度运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线y=x+2、y=-x+1于C、D两点．分别以OQ、CD为边向右作正方形OQAB和正方形CDEF．
（1）当t为何值时，正方形OQAB与正方形CDEF的面积相等．
（2）设正方形OQAB与正方形CDEF的重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．
（3）运动过程中，使△AEF为等腰三角形的不同t值有

4

个．

Answer 1

分析：（1）设点P坐标为（t，0）．根据正方形OQAB与正方形CDEF的面积相等时CD=OQ，依此得到关于t的方程，解方程即可求解；
（2）当点C在线段AQ上时，求得t=

1

4

．再分①当0＜t≤

1

4

时；②当

1

4

＜t≤1时；③当t＞1时；三种情况讨论可得S与t的函数关系式；
（3）△AEF为等腰三角形，则AE=AF或AE=EF或AF=EF，依此可得使△AEF为等腰三角形的不同t值，从而求解．

解答：解：（1）设点P坐标为（t，0）．
当x_C=t时，y_C=-t+1，
当x_D=t时，y_D=t+2，
∴CD=y_D-y_C=（t+2）-（-t+1）=2t+1，
∵OQ=3t
∴当正方形OQAB与正方形CDEF的面积相等时，CD=OQ
∴2t+1=3t，
解得t=1；
      
（2）当点C在线段AQ上时，y_Q=3t，y_C=-t+1，
∴3t=-t+1
解得t=

1

4

．
①当0＜t≤

1

4

时，S=0；
②当

1

4

＜t≤1时，S=[（2t+1）-（t+2-3t）]（3t-t）=8t²-2t；
③当t＞1时，S=（t+2）（3t-t）=2t²+4t．

（3）t有4个值，分别为

1

2

、

1

3

、

3+ 6

6

、

3- 6

6

．
设t秒的时候P的坐标为（a，0），那么可以得出Q（0，3a）．
那么A点坐标为（3a，3a）．
把P点横坐标代入y=-x+1，y=x+2，
则C，D点的坐标分别是（a，-a+1）（a，a+2）
正方形CDEF边长CD为2a+1，
那么DE=EF=CD=2a+1．
则E，F点横坐标分别是a+2a+1=3a+1，
则E（3a+1，a+2），F（3a+1，-a+1）
△AEF为等腰三角形，则AE=AF或AE=EF或AF=EF
AE=AF，即AE²=AF²，
由勾股定理可得
1²+（2a-2）²=1²+（4a-1）²且a＞0
解得a=

1

2

，
同理可得a=

1

3

，a=

3+ 6

6

，a=

3- 6

6

．
综上所述t=a=

1

2

或

1

3

或

3+ 6

6

或

3- 6

6

，共4个．
故答案为：4．

点评：此题主要考查了动点函数问题，其中应用到了等腰三角形的性质、正方形及勾股定理的性质，分类思想的运用，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．