解答:解:(1)过点P作PE⊥OA,垂足为E,过点Q作QF⊥BP,垂足为F,如图1.
∵BP∥OA,PE⊥OA,∴∠EPF=∠PEO=90°.
∵∠APQ=90°,∴∠EPA=∠FPQ=90°-∠APF.
在△PEA和△PFQ中,
| ∠EPA=∠FPQ | ∠PEA=∠PFQ=90° | PA=PQ |
| |
∴△PEA≌△PFQ.
∴PE=PF,EA=QF.
∵a=1,∴P(1,3).∴OE=BP=1,PE=3.
∵A(2,0),∴OA=2,∴EA=1.∴PF=3,QF=1.
∴点Q的坐标为(4,4).
(2)若点P的坐标为(a,3),则PF=PE=3,QF=AE=|2-a|.
∴点Q的坐标为(a+3,5-a).
∵无论a为何值,点Q的坐标(a+3,5-a)都满足一次函数解析式y=-x+8,
∴点Q始终在直线y=-x+8上运动.
设直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点M、N,如图2所示.
当x=0时y=8,当y=0时x=8.∴OM=ON=8.
∵∠AOB=90°,∴∠OMN=45°.
过点A关于直线MN作对称点A′,连A′Q、A′M,
则A′Q=AQ,A′M=AM=6,∠A′MN=∠AMN=45°.
∴∠A′MA=90°,AQ+BQ=A′Q+BQ.根据两点之间线段最短可知:
当A′、Q、B三点共线时,AQ+BQ=A′Q+BQ最短,最小值为A′B长.
设直线BP与A′M相交于点H,则BH⊥A′M.
在Rt△A′HB=90°,BH=OM=8,A′H=A′M-MH=6-3=3,
∴A′B=
=
=
.
当A′、Q、B三点共线时,
∵BN∥A′M,∴△BQN~△A′QM.
根据相似三角形对应高的比等于相似比可得:
=
=
,解得x
Q=
.
∴a+3=
.∴a=
.
∴当a=
时,AQ+BQ的值最小为
.
故答案为:(4,4)、
、
.