Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）

（1）求该二次函数的解析式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上异于点A的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点F作FG垂直于x轴于点G，再过点E作EH垂直于x轴于点H，得到矩形EFGH，则在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，求出该正方形的边长；

（3）设P点是x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，求△PAC面积的取值范围，若△PAC面积为整数时，这样的△PAC有几个？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），有5个．

【解析】试题分析：（1）设交点式为y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可；

（2）设E（t，t2-2t-3），讨论：当0<t<1时，如图1，EF=2（1-t），EH=-（t2-2t-3），利用正方形的性质得2（1-t）=-（t2-2t-3）；当1<t<3时，如图2，利用正方形的性质得2（t-1）=-（t2-2t-3），当t>3时，2（t-1）=t2-2t-3，然后分别解方程得到满足条件的t的值，再计算出对应的正方形的边长；

（3）设P（x，x2-2x-3），讨论：当-1<x<0时，由于S△ABC=6，则0<S△APC<6，当0<x<3时，作PM∥y轴交AC于点M，如图3，求出直线AC的解析式为y=x-3，则M（x，x-3），利用三角形面积公式得S△APC=3（-x2+3x），利用二次函数的性质得0<S△APC<，所以0<S△APC<6，于是得到△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5．

试题解析：(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x3)，

把C(0,3)代入得3a=3，解得a=1，

所以抛物线解析式为y=(x+1)(x3)，

即y=x22x3；

(2)抛物线的对称轴为直线x=1，

设E(t,t22t3)，

当0<t<1时,如图1,EF=2(1t),EH=(t22t3)，

∵矩形EFGH为正方形，

∴EF=EH,即2(1t)=(t22t3)，

整理得t24t1=0,解得t1=2+ (舍去),t2=2 (舍去)；

当1<t<3时,如图2,EF=2(t1),EH=(t22t3)，

∵矩形EFGH为正方形，

∴EF=EH,即2(t1)=(t22t3)，

整理得t25=0,解得t1=,t2= (舍去)，

此时正方形EFGH的边长为22；

当t>3时,EF=2(t1),EH=t22t3,

∵矩形EFGH为正方形，

∴EF=EH,即2(t1)=t22t3，

整理得t24t1=0,解得t1=2+,t2=2 (舍去)，

此时正方形EFGH的边长为2+2，

综上所述,正方形EFGH的边长为22或2+2；

(3)设P(x,x22x3)，

当1<x<0时，

∵S△ABC=×4×3=6，

∴0<S△APC<6，

当0<x<3时,作PM∥y轴交AC于点M，如图3，

易得直线AC的解析式为y=x3,则M(x,x3)，

∴PM=x3(x22x3)=x2+3x，

∴S△APC=×3(x2+3x)=x2+x=(x)2+，

当x=时,S△APC的面积的最大值为,即0<S△APC<，

综上所述,0<S△APC<6，

∴△PAC面积为整数时，它的值为1、2、3、4、5，即△PAC有5个.