如图.抛物线y=ax2+bx-2经过点A.与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式,(2)以点A为圆心.作于直线BC相切的⊙A.求⊙A的面积,(3)将直线BC向下平移n个单位后与抛物线交于点M.N.且线段MN=2CB.求直线MN的解析式及平移距离．附:阅读材料法国弗朗索瓦•韦达最早发现一元二次方程中根与系数的关系为:两根之和等于一次项系数与二次� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

5．

如图，抛物线y=ax²+bx-2经过点A（1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作于直线BC相切的⊙A，求⊙A的面积；
（3）将直线BC向下平移n个单位后与抛物线交于点M、N，且线段MN=2CB，求直线MN的解析式及平移距离．
附：阅读材料
法国弗朗索瓦•韦达最早发现一元二次方程中根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项羽二次项系数之比，人们称之为韦达定理．
即：设一元二次方程ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂，则：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$能灵活运用韦达定理，有时可以使解题更为简单．

分析（1）设交点式y=a（x-1）（x-4），即y=ax²-5ax+4a，然后利用4a=-2求出a即可得到抛物线解析式；
（2）作AD⊥BC于D，如图，先确定C（0，-2），计算出BC=2$\sqrt{5}$，再证明Rt△BAD∽Rt△BCO，利用相似比可计算出AD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，然后利用切线的性质得到圆的半径为AD，再利用圆的面积公式求解；
（3）先利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，则可设直线MN的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+t，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用两函数的交点问题得到x₁、x₂为方程-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$x+2t的两根，利用根与系数的关系得x₁+x₂=4，x₁•x₂=2t+4，则y₁-y₂=$\frac{1}{2}$（x₁-x₂），接着利用两点间的距离公式和完全平方公式得到MN=$\sqrt{\frac{5}{4}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{-10t}$，所以$\sqrt{-10t}$=4$\sqrt{5}$，解方程得到t的值，从而得到直线MN的解析式，然后利用直线平移的规律确定平移的距离．

解答解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-4），
即y=ax²-5ax+4a，
∴4a=-2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2；

（2）作AD⊥BC于D，如图，当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2=-2，则C（0，-2），
BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
∵∠ABD=∠CBO，
∴Rt△BAD∽Rt△BCO，
∴$\frac{AD}{OC}$=$\frac{AB}{BC}$，即$\frac{AD}{2}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴AD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵直线BC相切的⊙A，
∴AD为⊙A的半径，
∴⊙A的面积=π•（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$）²=$\frac{9}{5}$π；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+m，
把B（4，0），C（0，-2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+m=0}\\{m=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{m=-2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
设直线MN的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+t，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁、x₂为方程-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2=$\frac{1}{2}$x+2t的两根，
方程整理为x²-4x+2t+4=0，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=2t+4，
∵y₁-y₂=$\frac{1}{2}$x₁+t-（$\frac{1}{2}$x₂+t）=$\frac{1}{2}$（x₁-x₂），
∴MN=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}[16-4（2t+4）]}$=$\sqrt{-10t}$，
∵MN=2CB，
∴$\sqrt{-10t}$=4$\sqrt{5}$，解得t=-8，
∴直线MN的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-8，
∴将直线BC向下平移6个单位得到直线MN，即平移的距离为6．

点评本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和切线的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，会通过解方程组求两函数的交点坐标；能利用两点间的距离公式和相似比计算线段的长；灵活应用根与系数的关系．

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（1）当x≤5时，写出y与x之间的关系式，并说明每辆小车的停车费最少不低于多少元；
（2）当x＞5时，写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入．按此要求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？

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20．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．
如图，将一个矩形纸片ABCD，放置在平面直角坐标系中，A（0，0），B（4，0），D（0，3），M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM折叠，得到△ANM．
（Ⅰ）当AN平分∠MAB时，求∠DAM的度数和点M的坐标；
（Ⅱ）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（Ⅲ）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．（直接写出答案）
在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：
师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题．
小明：我是这样想的，延长MN与x轴交于P点，于是出现了Rt△NAP，…
小雨：我和你想的不一样，我过点N作y轴的平行线，出现了两个Rt△NAP，…