已知二次函数的图象经过点(0,- 3),且顶点坐标为(1,- 4).求这个解析式。
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抛物线(b,c均为常数)与x轴交于
两点,与y轴交于点
.
(1)求该抛物线对应的函数表达式;
(2)若P是抛物线上一点,且点P到抛物线的对称轴的距离为3,请直接写出点P的坐标.
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如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且对称轴为x=1,点A坐标为(-1,0).则下面的四个结论:
①2a+b=0;②4a+2b+c>0;③B点坐标为(4,0);④当x<-1时,y>0.
其中正确的是( )
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
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如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,点E为BC边上的动点(点E与点B、C不重合),设BE=x.
操作:在射线BC上取一点F,使得EF=BE,以点F为直角顶点、EF为边作等腰直角三角形EFG,设△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S.
(1)求S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)S是否存在最大值?若存在,请直接写出最大值,若不存在,请说明理由.
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心理学家通过实验发现:初中学生听讲的注意力随时间变化,讲课开始时,学生注意力逐渐增强,中间有一段平稳状态,随后开始分散.学生注意力指标数y随时间表t(分钟)变化的函数图象如下.当0≤t≤10时,图像是抛物线的一部分,当10≤t≤20时和20≤t≤40时,图像是线段。
(1)当0≤t≤10时,求注意力指标数y与时间t的函数关系式;
(2)一道数学探究题需要讲解24分钟,问老师能否经过恰当安排,使学生在探究这道题时,注意力指标数不低于45?请通过计算说明.
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如图1,已知A(3,0)、B(4,4)、原点O(0,0)在抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)上.
(1)求抛物线的解析式.
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个交点D,求m的值及点D的坐标.
(3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)
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如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B、C在x轴上,点D、E在y轴上,OA=OD=2,OC=OE=4,B为线段OA的中点,直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点,与其对称轴交于M,点P为线段FG上一个动点(点P与F、G不重合),作PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
(1)若经过B、E、C三点的抛物线的解析式为y=-x2+(2b-1)x+c-5,则b= ,c= (直接填空)
(2)①以P、D、E为顶点的三角形是直角三角形,则点P的坐标为 (直接填空)
②若抛物线顶点为N,又PE+PN的值最小时,求相应点P的坐标.
(3)连结QN,探究四边形PMNQ的形状:
①能否成为平行四边形
②能否成为等腰梯形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.
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在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).
(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围.
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B的坐标为
,与y轴交于点
,顶点为D。
(1)求抛物线的解析式及顶点D坐标;
(2)联结AC、BC,求∠ACB的正切值;
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