Question

（2012•湖里区一模）如图，反比例函数y=

k

x

（k为常数，k≠0）的图象经过点A（-1，4），过点A作直线AC与函数y=

k

x

的图象交于另一点B，与x轴交于点C．
（1）若点B的纵坐标为2，求点B到y轴的距离；
（2）若AB=3BC．求直线AB的解析式．

Answer 1

分析：（1）由A在反比例函数图象上，将A的坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，又B在反比例函数图象上且B纵坐标为2，将y=2代入反比例解析式中求出x的值，即可得到B到y轴的距离；
（2）过A作AD垂直于x轴，过B作BE垂直于x轴，可得出一对直角相等，再公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△BCE与△ACD相似，由相似得比例，再由AB=3BC，得出三角形的相似比，由A的坐标确定出AD的长，根据相似比求出BE的长，即为B的纵坐标，将求出的纵坐标代入反比例解析式中求出B的横坐标，确定出B的坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A和B的坐标代入，得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出直线AB的解析式．

解答：解：（1）将A（-1，4）代入反比例解析式得：4=

k

-1

，即k=-4，
∴反比例解析式为y=-

4

x

，
∵B在反比例函数图象上，且B纵坐标为2，
∴将y=2代入反比例函数解析式得：2=-

4

x

，解得x=-2，
∴B（-2，2），
则B到y轴的距离为2；

（2）过A作AD⊥x轴，过B作BE⊥x轴，分别交x轴于D、E，如右图所示，
∴∠ADC=∠BEC=90°，又∠ACD=∠BCE，
∴△BCE∽△ACD，
∴

CB

CA

=

BE

AD

，
又AB=3BC，A（-1，4），
∴

CB

AB

=

1

4

，且AD=4，
∴

BE

4

=

1

4

，即BE=1，
将y=1代入反比例函数解析式得：1=-

4

x

，解得x=-4，
∴B（-4，1），
设直线AB解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（-1，4）和B（-4，1）代入得：

4=-k+b 1=-4k+b

，
解得：

k=1 b=5

，
则直线AB解析式为y=x+5．

点评：此题考查了反比例与一次函数的交点问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，以及坐标与图形性质，是一道综合性较强的试题．