如图.在Rt△OBC中.OB与x轴正半轴重合.∠OBC=90°.且OC=2.BC=$\sqrt{3}$.将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍.使OB1=OC.得到△OB1C1.将△OB1C1绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍.使OB2=OC.得到△OB2C2.-.如此继续下去.得到△OB2016C2016.则点C2016� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

9．

如图，在Rt△OBC中，OB与x轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OC=2，BC=$\sqrt{3}$，将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB₁=OC，得到△OB₁C₁，将△OB₁C₁绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB₂=OC，得到△OB₂C₂，…，如此继续下去，得到△OB₂₀₁₆C₂₀₁₆，则点C₂₀₁₆的坐标为（2²⁰¹⁶，$\sqrt{3}$•2²⁰¹⁶）．

分析先解直角三角形求出∠BOC=60°，再求出OC₁、OC₂、OC₃、…、OC₂₀₁₆的长度，再根据周角等于360°，每6次为一个循环，求出点C₂₀₁₆是第几个循环组的第几个点，再根据变化规律写出点的坐标即可．

解答解：∵∠OBC=90°，且OC=2，BC=$\sqrt{3}$，
∴sin∠BOC=$\frac{BC}{OC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BOC=60°，
∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB₁=OC，
∴OC₁=2OC=2×2=4=2²，
OC₂=2OC₁=2×4=8=2³，
OC₃=2OC₂=2×8=16=2⁴，
…，
OC_n=2ⁿ⁺¹，
∴OC₂₀₁₆=2²⁰¹⁷，
∵2016÷6=336，
∴点C₂₀₁₆与点C在同一射线上，
∴OB₂₀₁₆=$\frac{1}{2}$OC₂₀₁₆=2²⁰¹⁶，
C₂₀₁₆B₂₀₁₆=$\sqrt{3}$OB₂₀₁₆=$\sqrt{3}$•2²⁰¹⁶，
∴点C₂₀₁₆的坐标为（2²⁰¹⁶，$\sqrt{3}$•2²⁰¹⁶）．
故答案为（2²⁰¹⁶，$\sqrt{3}$•2²⁰¹⁶）．

点评本题考查了坐标与图形变换：旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．也考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半．

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