Question

在平面直角坐标系中，点C为反比例函数（k＞0）在第一象限内图象上一点，以点A（-2，-2）和C为顶点的矩形ABCD中，AB∥CD∥x轴，AB交y轴于点Q，CD交y轴于点M，BC∥DA∥y轴于点I，DA交x轴于点N，矩形ABCD被坐标轴分成的四个四边形的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄（如图1所示），已知S₁=3S₃，

（1）求k的值；
（2）S₂•S₄的值为________；
（3）P（0，n）为y轴上一点，以AP为边作正方形APFG（A，P，F，G的位置依次为顺时针方向排列），当点F或G恰好落在反比例函数y=的图象上（示意图如图2所示）时，求所有满足条件的n的值．

Answer 1

解：（1）设C（x_c，y_c）
∵AB∥CD∥x轴，BC∥DA∥y轴∠MOI=∠NOQ=90°
∴四边形ANOQ和四边形MOIC为矩形
∴S₃=ON×OQ=4
∴S₁=3S₃=12，∵K=x_c×y_c=OI×OC=S₁，
∴K=12

（2）∵点C在双曲线上，
∴点C的坐标为（xc，）
∵四边形ABCD是矩形
∴点B的坐标为（x_c，-2），
点D的坐标为（-2，）
∴S₂•S₄=ON•OM•OI•OQ=2×x_c×2×=48；

（3）（Ⅰ）当点F在双曲线上
作FK⊥y轴 与K，AJ⊥y轴于点J，
∵∠FPK+∠APJ=∠APJ+∠PAJ=90°，
∴∠FPK=∠PAG
又∵∠FKP=∠PGA FP=PA
∴△FPK≌△PAJ
∴PK=AJ=2 FK=PJ=n+2
∴F（n+2，n-2）
将F（n+2，n-2）代入y=得：
（n+2）（n-2）=12
解得：n=±4
当n=-4时，经验证正方形的顶点也在双曲线上，
∴n=±4
（Ⅱ）点G在双曲线上
同理可得：G（n，-4）
∴-4n=12
∴n=-3
∴n=±4，-3．
分析：（1）设C（x_c，y_c），根据四边形ANOQ和四边形MOIC为矩形得到S₃=ON×OQ=4，从而得到S₁=3S₃=12，最后利用K=x_c×y_c=OI×OC=S₁，求得K值；
（2）根据点C在双曲线上，得到点C的坐标为（xc，），根据点C的坐标表示出点B和点D的坐标后即可求得两个四边形面积的积；
（3）分当点F在双曲线上和点G在双曲线上两种情况求得n值即可．
点评：本题考查了反比例函数的综合知识，解题的关键是了解在平面直角坐标系中如何用点的坐标表示出线段的长和如何根据线段的长表示出点的坐标．