Question

在直角坐标系中，⊙A的半径为4，圆心A的坐标为（2，0），⊙A与x轴交于E、F两点，与y轴交于C、D两点，过点C作⊙A的切线BC，交x轴于点B．
（1）求直线CB的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c的顶点在直线BC上，与x轴的交点恰为点E、F，求该抛物线的解析式；
（3）试判断点C是否在抛物线上；
（4）在抛物线上是否存在三个点，由它构成的三角形与△AOC相似？直接写出两组这样的点．

Answer 1

（1）方法一：
连接AC，则AC⊥BC．
∵OA=2，AC=4，
∴OC=2

3

．
又∵Rt△AOC∽Rt△COB，
∴

AO

OC

=

OC

OB

．
∴OB=6．
∴点C坐标为（0，2

3

），点B坐标为（-6，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
可求得直线BC的解析式为y=

3

3

x+2

3

．
方法二：
连接AC，则AC⊥BC．
∵OA=2，AC=4，
∴∠ACO=30°，∠CAO=60°．
∴∠CBA=30°．
∴AB=2AC=8．
∴OB=AB-AO=6．
以下同证法一．

（2）由题意得，⊙A与x轴的交点分别为E（-2，0）、F（6，0），抛物线的对称轴过点A为直线x=2．
∵抛物线的顶点在直线BC上，
∴抛物线顶点坐标为（2，

8

3

3

）．
设抛物线解析式为y=a（x-2）²+

8

3

3

，
∵抛物线过点E（-2，0），
∴0=a（-2-2）²+

8 3

3

，
解得a=-

3

6

．
∴抛物线的解析式为y=-

3

6

（x-2）²+

8

3

3

，
即y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

．

（3）点C在抛物线上．因为抛物线与y轴的交点坐标为（0，2

3

），如图．

（4）存在，这三点分别是E、C、F与E、C′、F，C′的坐标为（4，2

3

）．
即△ECF∽△AOC、△EC′F∽△AOC，如图．