Question

如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=50°，则∠BOC=

 

（2）若∠ABC+∠ACB=lO0°，则∠BOC=

 

．
（3）若∠A=70°，则∠BOC=

 

．
（4）若∠BOC=140°，则∠A=

 

．
（5）你能发现∠BOC与∠A之间有什么数量关系吗？写出并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据∠OBC=

1

2

∠ABC=20°，∠OCB=

1

2

∠ACB求得∠OBC与∠OCB的度数，再根据∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180即可求解；
（2）根据∠BOC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），首先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB即可；
（3）根据∠BOC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），首先根据∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，求得∠ABC+∠ACB即可；
（4）∵∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，则∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+OCB）=80，根据三角形内角和定理即可求解；
（5）设∠BOC=α，方法同（4）即可求解．

解答：解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=50°，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．
∴∠OBC=

1

2

∠ABC=20°，∠OCB=

1

2

∠ACB=25°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-20°-25°=135°，
故答案是：135°；

（2）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=50°，
∴∠BOC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-50°=130°，
故答案是130°．

（3）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=55°，
∴∠BOC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-55°=125°，
故答案是125°；

（4）∵∠BOC=140°，
∴∠OBC+OCB=40°，
∵∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+OCB）=80°，
∴∠A=100°，
故答案是：100°；

（5）设∠BOC=α，
∴∠OBC+OCB=180°-α，
∵∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+OCB）=2（180°-α）=360°-2α，
∴∠A=180°-（ABC+∠ACB）=180°-（360°-2α）=2α-180°，
故∠BOC与∠A之间的数量关系是：∠A=2∠BOC-180°．

点评：本题主要考查了三角形的角平分线的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题关键．