Question

13．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（-1，0），B（5，-5），C（6，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出使△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请你求出其中一个点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）抛物线经过点A（-1，0），B（5，-5），C（6，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-6），代入B（5，-5）即可求得函数的解析式；
（2）作辅助线，将四边形PACB分成三个图形，两个三角形和一个梯形，设P（m，$\frac{5}{6}$m²-$\frac{25}{6}$m-5），四边形PACB的面积为S，用字母m表示出四边形PACB的面积S，发现是一个二次函数，利用顶点坐标求极值，从而求出点P的坐标．
（3）分三种情况画图：①以A为圆心，AB为半径画弧，交对称轴于Q₁和Q₄，有两个符合条件的Q₁和Q₄；②以B为圆心，以BA为半径画弧，也有两个符合条件的Q₂和Q₅；③作AB的垂直平分线交对称轴于一点Q₃，有一个符合条件的Q₃；最后利用等腰三角形的腰相等，利用勾股定理列方程求出Q₃坐标．

解答 解：（1）设y=a（x+1）（x-6）（a≠0），
把B（5，-5）代入：a（5+1）（5-6）=-5，
a=$\frac{5}{6}$，
∴y=$\frac{5}{6}$（x+1）（x-6）=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{25}{6}$x-5；
（2）存在，
如图1，
分别过P、B向x轴作垂线PM和BN，垂足分别为M、N，
设P（m，$\frac{5}{6}$m²-$\frac{25}{6}$m-5），四边形PACB的面积为S，
则PM=-$\frac{5}{6}$m²+$\frac{25}{6}$m+5，AM=m+1，MN=5-m，CN=6-5=1，BN=5，
∴S=S_△AMP+S_梯形PMNB+S_△BNC，
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{5}{6}$m²+$\frac{25}{6}$m+5）（m+1）+$\frac{1}{2}$（5-$\frac{5}{6}$m²+$\frac{25}{6}$m+5）（5-m）+$\frac{1}{2}$×1×6，
=-$\frac{5}{2}$（m²-4m+4）+$\frac{81}{2}$
=-$\frac{5}{2}$（m-2）²+$\frac{81}{2}$，
当m=2时，S有最大值为$\frac{81}{2}$，这时$\frac{5}{6}$m²-$\frac{25}{6}$m-5=$\frac{5}{6}$×2²-$\frac{25}{6}$×2-5=-10，
∴P（2，-10），
（3）这样的Q点一共有5个，
①以A为圆心，以AB为半径画弧，交抛物线的对称轴于Q₁、Q₄，则AQ₁=AQ₄=AB，
设对称轴交x轴于E，
y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{25}{6}$x-5=$\frac{5}{6}$（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{245}{24}$；
∴抛物线的对称轴是：x=$\frac{5}{2}$，
∵A（-1，0），B（5，-5），
∴AB=$\sqrt{（5+1）^{2}+（-5-0）^{2}}$=$\sqrt{61}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$+1=$\frac{7}{2}$，
由勾股定理得：Q₁E=Q₄E=$\sqrt{（\sqrt{61}）^{2}-（\frac{7}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{195}}{2}$，
∴Q₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{195}}{2}$），Q₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{195}}{2}$）
②以B为圆心，以AB为半径画弧，交抛物线的对称轴于Q₂、Q₅，
∴Q₂F=Q₅F=AB=$\sqrt{61}$，
过B作BF⊥Q₁Q₅于F，则Q₂F=Q₅F，
∵B（5，-5），
∴BF=$\frac{5}{2}$，
由勾股定理得：Q₂F=$\sqrt{（\sqrt{61}）^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{219}}{2}$，
∴Q₅E=$\frac{\sqrt{219}}{2}$+5=$\frac{\sqrt{219}+10}{2}$，
∴Q₅（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{219}+10}{2}$），
∵Q₂E=$\frac{\sqrt{219}}{2}$-5=$\frac{\sqrt{219}-10}{2}$，
∴Q₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{219}-10}{2}$），
③连接Q₃A、Q₃B，
因为Q₃在对称轴上，所以设Q₃（$\frac{5}{2}$，y），
∵△Q₃AB是等腰三角形，且Q₃A=Q₃B，
由勾股定理得：（$\frac{5}{2}$+1）²+y²=（$\frac{5}{2}$-5）²+（y+5）²，
y=-$\frac{19}{10}$，
∴Q₃（$\frac{5}{2}$，-$\frac{19}{10}$）．
综上所述，点Q的坐标为：Q₁（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{195}}{2}$），Q₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{\sqrt{219}-10}{2}$），Q₃（$\frac{5}{2}$，-$\frac{19}{10}$）．Q₄（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{195}}{2}$）Q₅（$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{219}+10}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求解析式，解（2）的关键是利用多边形的面积得出二次函数，解（3）的关键是利用等腰三角形的一些性质，注意由一个动点与两个定点组成的等腰三角形三种情况的讨论．