Question

已知x是实数，并且x³+2x²+2x+1=0，则x¹⁹⁹⁴+x¹⁹⁹⁷+x²⁰⁰⁰的值是

 

．

Answer 1

分析：首先对x³+2x²+2x+1=0，等号左边通过拆分项、提取公因式、完全平方式因式分解，转化为（x+1）（x²+x+1）=0．针对因式x²+x+1通过配方法证明其大于0，进而判定x+1=0，求得x的值为1．最后将x的值代入x¹⁹⁹⁴+x¹⁹⁹⁷+x²⁰⁰⁰即可求得结果．

解答：解：∵x³+2x²+2x+1=0，
∴x（x²+2x+1）+（x+1），
=x（x+1）²+（x+1），
=（x+1）（x²+x+1）=0，
又∵x²+x+1=(x+ 

1

2

)2+

3

4

＞0，
∴x+1=0，即x=-1，
∴x¹⁹⁹⁴+x¹⁹⁹⁷+x²⁰⁰⁰=（-1）¹⁹⁹⁴+（-1）¹⁹⁹⁷+（-1）²⁰⁰⁰=1-1+1=1．
故答案为1．

点评：本题考查高次方程、代数式求值、因式分解．解决本题的关键通过因式分解，降次转化为一元二次方程与一次方程，进而求得x的值，原题得解．