Question

13．尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．
求证：a²+b²=5c²
该同学仔细分析后，得到如下解题思路：
先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故$\frac{EP}{BP}=\frac{PF}{PA}=\frac{EF}{BA}=\frac{1}{2}$，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证
（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．
（2）利用题中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG²+MH²的值．

Answer 1

分析 （1）设PF=m，PE=n，连结EF，如图1，根据三角形中位线性质得EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$c，则可判断△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接着根据勾股定理得到n²+4m²=$\frac{1}{4}$b²，m²+4n²=$\frac{1}{4}$a²，则5（n²+m²）=$\frac{1}{4}$（a²+b²），而n²+m²=EF²=$\frac{1}{4}$c²，所以a²+b²=5c²；
（2）利用（1）的结论得MB²+MC²=5BC²=5×3²=45，再利用△AEG∽△CEB可计算出AG=1，同理可得DH=1，则GH=1，然后利用GH∥BC，根据平行线分线段长比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代换后可得MG²+MH²=5．

解答 解：（1）设PF=m，PE=n，连结EF，如图1，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF为△ABC的中位线，AE=$\frac{1}{2}$b，BF=$\frac{1}{2}$a，
∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$c，
∴△EFP∽△BPA，
∴$\frac{EP}{BP}=\frac{PF}{PA}=\frac{EF}{BA}=\frac{1}{2}$，即$\frac{n}{PB}$=$\frac{m}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
∴PB=2n，PA=2m，
在Rt△AEP中，∵PE²+PA²=AE²，
∴n²+4m²=$\frac{1}{4}$b²①，
在Rt△AEP中，∵PF²+PB²=BF²，
∴m²+4n²=$\frac{1}{4}$a²②，
①+②得5（n²+m²）=$\frac{1}{4}$（a²+b²），
在Rt△EFP中，∵PE²+PF²=EF²，
∴n²+m²=EF²=$\frac{1}{4}$c²，
∴5•$\frac{1}{4}$c²=$\frac{1}{4}$（a²+b²），
∴a²+b²=5c²；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
∵E，F分别为线段AO，DO的中点，
由（1）的结论得MB²+MC²=5BC²=5×3²=45，
∵AG∥BC，
∴△AEG∽△CEB，
∴$\frac{AG}{BC}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{3}$，
∴AG=1，
同理可得DH=1，
∴GH=1，
∴GH∥BC，
∴$\frac{MG}{MB}$=$\frac{MH}{MC}$=$\frac{GH}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴MB=3GM，MC=3MH，
∴9MG²+9MH²=45，
∴MG²+MH²=5．

点评 本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了三角形中位线性质和菱形的性质．